Bài viết hướng dẫn phương pháp viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương (Oxyz), đây là dạng toán cơ bản trong chương trình Hình học 12 chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian.
I. CÁC KẾT QUẢ CẦN LƯU Ý
Đường thẳng $d$ qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = (a;b;c)$ có phương trình $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0} + at}\\
{y = {y_0} + bt}\\
{z = {z_0} + ct}
\end{array}} \right.$ $(t \in R)$ hoặc $d:\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}$ $(abc \ne 0).$
Lưu ý: Chuyển từ phương trình chính tắc sang phương trình tham số, ta có thể thực hiện theo cách sau:
$\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c} = t$ $ \Rightarrow d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0} + at}\\
{y = {y_0} + bt}\\
{z = {z_0} + ct}
\end{array}} \right.$ $(t \in R).$
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $AB$, biết $A(1;1;1)$ và $B(2;0;3).$
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 2}}{1}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{2}.$
C. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{1}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}.$
Lời giải:
Đường thẳng $AB$ qua $A(1;1;1)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = (1; – 1;2)$, có phương trình: $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{2}.$
Chọn đáp án B.
Nhận xét: Học sinh có thể thay tọa độ $A$, $B$ để kiểm tra các đáp án phù hợp.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $MN$, biết $M(1;1;2)$ và $N(2;0;3).$
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{2}.$
C. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{1}.$
D. $\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{1}.$
Lời giải:
Đường thẳng $MN$ qua $M(1;1;2)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {MN} = (1; – 1;1)$ có phương trình: $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{1}.$
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;1)$ và $B(2;0;3).$ Phương trình nào dưới đây không là phương trình đường thẳng $AB$?
A. $\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 5}}{2}.$
B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{2}.$
C. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{1}.$
D. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{2}.$
Lời giải:
Xét đáp án C. Ta có: $\overrightarrow {AB} = (1; – 1;2)$ không cùng phương với $\vec u = (1; – 1;1)$, suy ra phương trình ở đáp án C không là phương trình đường thẳng $AB.$
Chọn đáp án C.
Nhận xét: Học sinh có thể thay tọa độ hai điểm $A$, $B$ để kiểm tra từng đáp án.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $P(1;0;1)$ và $Q(2;1;-1).$ Phương trình nào dưới đây không là phương trình đường thẳng $PQ$?
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$
B. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}.$
C. $\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 4}}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}.$
Lời giải:
Xét đáp án D. Thay tọa độ điểm $P(1;0;1)$ vào phương trình đường thẳng ta được: $\frac{{1 – 1}}{1} = \frac{0}{1} = \frac{{1 + 2}}{{ – 2}}$ sai.
Suy ra phương trình ở đáp án D không là phương trình đường thẳng $PQ.$
Chọn đáp án D.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ chứa trục $Ox.$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 1}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = t}\\
{z = t}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
Đường thẳng $d$ qua $O(0;0;0)$ và có một vectơ chỉ phương là $\vec u = (1;0;0)$ có phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
Chọn đáp án A.
Nhận xét: Học sinh có thể thay tọa độ $O(0;0;0)$, $A(1;0;0)$ để kiểm tra các đáp án phù hợp.
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, trong các phương trình sau phương trình nào không là phương trình đường thẳng chứa trục $Ox$?
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 0}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + 4t}\\
{y = 0}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – t}\\
{y = 0}\\
{z = 1}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
Xét đáp án D. Chọn $A(1;0;0) \in Ox$ không thỏa mãn phương trình ở đáp án này nên phương trình ở đáp án D không là phương trình đường thẳng chứa trục $Ox.$
Chọn đáp án D.
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, trong các phương trình sau phương trình nào không là phương trình đường thẳng chứa trục $Oz$?
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 0}\\
{z = t}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 0}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 0}\\
{z = 2 + 4t}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – t}\\
{y = 0}\\
{z = 1}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
Xét đáp án D. Chọn $A(0;0;1) \in Oz$ không thỏa mãn phương trình ở đáp án này nên phương trình ở đáp án D không là phương trình đường thẳng chứa trục $Oz.$
Chọn đáp án D.
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(1;2;3)$ và song song với trục $Oy.$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2t}\\
{z = 3t}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2 + t}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
Đường thẳng $d$ qua $A(1;2;3)$ và song song với trục $Oy$ nên có một vectơ chỉ phương là $\vec j = (0;1;0)$ có phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2 + t}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..$
Chọn đáp án D.
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(1;2;3)$ và song song với trục $Oz.$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2t}\\
{z = 3t}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2 + t}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
Đường thẳng $d$ qua $A(1;2;3)$ và song song với trục $Oz$ nên có một vectơ chỉ phương là $\vec k = (0;0;1)$ có phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right..$
Chọn đáp án C.
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(2;1;2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oyz).$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t}\\
{y = 1}\\
{z = 2}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t}\\
{y = t}\\
{z = 2t}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 1}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 2}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
Mặt phẳng $(Oyz):$ $x = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec i = (1;0;0).$
Đường thẳng $d$ qua $A(2;1;2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oyz)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\vec i = (1;0;0)$, có phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t}\\
{y = 1}\\
{z = 2}
\end{array}} \right..$
Chọn đáp án A.
Ví dụ 11: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(1;2;4)$ và song song với đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{z}{3}.$
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 4}}{3}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{4}.$
C. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 4}}{1}.$
D. $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{4}.$
Lời giải:
Đường thẳng $\Delta $ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_\Delta } = (1;2;3).$
Đường thẳng $d$ qua $A(1;2;4)$ và song song với $\Delta $ nên có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_\Delta } = (1;2;3)$, có phương trình $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 4}}{3}.$
Chọn đáp án A.
Ví dụ 12: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(1;2;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 1 = 0.$
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{2}.$
B. $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{2}.$
C. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{1}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 2}}{3}.$
Lời giải:
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_p} = (1;2;2).$
Đường thẳng $d$ qua $A(1;2;3)$ và vuông góc với $(P)$ nên có một vectơ chỉ phương là ${\vec n_p} = (1;2;2)$, có phương trình: $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{2}.$
Chọn đáp án A.
Ví dụ 13: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $I(2;2; – 3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):x – 2y – 3z + 5 = 0.$
A. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{{z + 3}}{{ – 3}}.$
B. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{{ – 3}}.$
C. $\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 3}}{{ – 3}}.$
D. $\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{{ – 3}}.$
Lời giải:
Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = (1; – 2; – 3).$
Đường thẳng $d$ qua $I(2;2;-3)$ và vuông góc với $(Q)$ nên có một vectơ chỉ phương là ${\vec n_Q} = (1; – 2; – 3)$, có phương trình: $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{{z + 3}}{{ – 3}}.$
Chọn đáp án A.
Ví dụ 14: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $F(1;1;-3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, biết $A(1;1;2)$, $B(2;1;1)$, $C(0;-1;3).$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2 + t}\\
{y = t}\\
{z = – 2 – 3t}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – 2t}\\
{y = 1}\\
{z = – 3 – 2t}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – 2t}\\
{y = 1}\\
{z = – 3 – t}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4 – 2t}\\
{y = 1}\\
{z = – 3 – 2t}
\end{array}} \right..$
Lời giải:
Ta có: $\overrightarrow {AB} = (1;0; – 1)$, $\overrightarrow {AC} = ( – 1; – 2;1).$
Mặt phẳng $(ABC)$ có một vectơ pháp tuyến là:
${\vec n_{(ABC)}} = [\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ] = ( – 2;0; – 2).$
Đường thẳng $d$ qua $F(1;1;-3)$ và vuông góc với $(ABC)$ nên có một vectơ chỉ phương là ${\vec n_{(ABC)}} = ( – 2;0; – 2)$, có phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – 2t}\\
{y = 1}\\
{z = – 3 – 2t}
\end{array}} \right..$
Chọn đáp án B.
Ví dụ 15: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $\Delta $ qua $K(1;1;1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, biết $A(1;3;2)$, $B(2;-1;1)$, $C(-1;1;0).$
A. $\frac{{x + 1}}{6} = \frac{{y + 1}}{4} = \frac{{z + 1}}{{ – 10}}.$
B. $\frac{{x – 1}}{6} = \frac{{y – 1}}{4} = \frac{{z – 1}}{{10}}.$
C. $\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 5}}.$
D. $\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ – 5}}.$
Lời giải:
Ta có: $\overrightarrow {AB} = (1; – 4; – 1)$, $\overrightarrow {AC} = ( – 2; – 2; – 2).$
Mặt phẳng $(ABC)$ có một vectơ pháp tuyến là:
${\vec n_{(ABC)}} = [\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ] = (6;4; – 10).$
Đường thẳng $\Delta $ qua $K(1;1;1)$ và vuông góc với $(ABC)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\frac{1}{2}{\vec n_{(ABC)}} = (3;2; – 5)$, có phương trình $\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 5}}.$
Chọn đáp án C.
Ví dụ 16: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $M(1;0;0)$, $N(0;0;1)$ và $P(2;1;1).$ Biết tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm $M$, $N$, $P$ là đường thẳng $\Delta .$ Viết phương trình $\Delta .$
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.$
B. $\frac{{x – \frac{1}{2}}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – \frac{1}{2}}}{{ – 1}}.$
C. $\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$
D. $\frac{{x – \frac{1}{2}}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – \frac{1}{2}}}{1}.$
Lời giải:
Ta có: $\overrightarrow {MN} = ( – 1;0;1)$, $\overrightarrow {MP} = (1;1;1)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP} = 0$ $ \Leftrightarrow \Delta MNP$ vuông tại $M.$
Lúc đó, $\Delta $ là đường thẳng qua trung điểm $I$ của $NP$ và vuông góc với mặt phẳng $(MNP).$
Ta có: $I\left( {1;\frac{1}{2};1} \right)$ và $[\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} ] = ( – 1;2; – 1).$
$ \Rightarrow \Delta :\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$
Chọn đáp án C.
Ví dụ 17: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;1;0)$, $B(0;0;1)$ và $C(2;1;1).$ Biết tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm $A$, $B$, $C$ là đường thẳng $\Delta .$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta .$
A. $\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.$
B. $\frac{{x – \frac{1}{2}}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – \frac{1}{2}}}{{ – 1}}.$
C. $\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$
D. $\frac{{x – \frac{1}{2}}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – \frac{1}{2}}}{1}.$
Lời giải:
Ta có: $\overrightarrow {AB} = ( – 1; – 1;1)$, $\overrightarrow {AC} = (1;0;1)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0$ $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A.$
Lúc đó, $\Delta $ là đường thẳng qua trung điểm $I$ của $BC$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC).$ Ta có: $I\left( {1;\frac{1}{2};1} \right)$ và $[\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ] = ( – 1;2;1).$
$ \Rightarrow \Delta :\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.$
Chọn đáp án A.
Ví dụ 18: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(5;3;-1)$, $B(2;3;-4)$ và $C(1;2;0).$ Biết tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm $A$, $B$, $C$ là đường thẳng $\Delta .$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta .$
A. $\frac{{x – \frac{7}{2}}}{{ – 1}} = \frac{{y – 3}}{5} = \frac{{z + \frac{5}{2}}}{1}.$
B. $\frac{{x – 3}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{5}{2}}}{5} = \frac{{z + \frac{1}{2}}}{1}.$
C. $\frac{{x – \frac{8}{3}}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{{11}}{3}}}{5} = \frac{{z + \frac{5}{3}}}{1}.$
D. $\frac{{x – \frac{3}{2}}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{5}{2}}}{5} = \frac{{z + 2}}{1}.$
Lời giải:
Ta có: $\overrightarrow {AB} = ( – 3;0; – 3)$, $\overrightarrow {AC} = ( – 4; – 1;1)$, $\overrightarrow {BC} = ( – 1; – 1;4).$
$ \Rightarrow AB = AC = BC = 3\sqrt 2 $ $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ là tam giác đều.
Lúc đó, $\Delta $ là đường thẳng qua trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC).$
Ta có: $G\left( {\frac{8}{3};\frac{{11}}{3}; – \frac{5}{3}} \right).$
$[\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ] = ( – 3;15;3) = 3( – 1;5;1)$ $ \Rightarrow \Delta :\frac{{x – \frac{8}{3}}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{{11}}{3}}}{5} = \frac{{z + \frac{5}{3}}}{1}.$
Chọn đáp án C.
III. LUYỆN TẬP
1. ĐỀ BÀI
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $PQ$, biết $P(1;0;1)$ và $Q(2;1;-1).$
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{2}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{2}.$
C. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;1;2)$ và $N(2;0;3).$ Phương trình nào dưới đây không là phương trình đường thẳng $MN$?
A. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{1}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{1}.$
C. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{1}.$
D. $\frac{{x – 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ – 2}} = \frac{{z – 4}}{2}.$
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ chứa trục $Oy.$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 1}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = t}\\
{z = t}
\end{array}} \right..$
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ chứa trục $Oz.$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 0}\\
{z = 4 + 2t}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 1}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 0}\\
{z = 4 + 2t}
\end{array}} \right..$
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, trong các phương trình sau phương trình nào không là phương trình đường thẳng chứa trục $Oy$?
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 1 – 3t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2 – 5t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 4t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 2t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..$
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(1;2;3)$ và song song với trục $Ox.$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2t}\\
{z = 3t}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2 + t}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..$
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(2;1;2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy).$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t}\\
{y = 1}\\
{z = 2}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2t}\\
{y = t}\\
{z = 1 + 2t}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 1}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 2}
\end{array}} \right..$
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(2;1;2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxz).$
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 2t}
\end{array}} \right..$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2t}\\
{y = t}\\
{z = 1 + 2t}
\end{array}} \right..$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 1}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right..$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 2}
\end{array}} \right..$
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(1;2;-1)$ và song song với đường thẳng $\Delta :\frac{x}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{3}.$
A. $\frac{{x – 4}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$
B. $\frac{{x – 1}}{4} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}.$
C. $\frac{{x – 1}}{4} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 1}}{3}.$
D. $\frac{{x – 1}}{4} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}.$
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A(1;2;4)$ và song song với đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{z}{3}.$
A. $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 4}}{3}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{3}.$
C. $\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y – 6}}{2} = \frac{{z – 10}}{3}.$
D. $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 4}}{3}.$
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $d$ qua $K(3;2;5)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):x + 2y – 2z + 4 = 0.$
A. $\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 5}}{2}.$
B. $\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 5}}{{ – 2}}.$
C. $\frac{{x – 3}}{{ – 1}} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 5}}{2}.$
D. $\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 5}}{2}.$
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $MNPQ$ với $M(1;0;1)$, $N(2;1;-1)$, $P(0;1;2)$, $Q(0;1;1).$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ qua $P$ và vuông góc với mặt phẳng $(MNP).$
A. $\frac{x}{3} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}.$
B. $\frac{x}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}.$
C. $\frac{x}{{ – 3}} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}.$
D. $\frac{x}{3} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{2}.$
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $M(1;0;0)$, $N(0;0;1)$ và $P(2;1;1).$ Biết tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm $M$, $N$, $P$ là đường thẳng $\Delta .$ Gọi $\vec u = (1;a;b)$$(a;b \in R)$ là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $, tính $S=a+b.$
A. $S=1.$
B. $S=-1.$
C. $S=2.$
D. $S=-2.$
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;1;0)$, $B(0;0;1)$ và $C(2;1;1).$ Biết tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm $A$, $B$, $C$ là đường thẳng $\Delta .$ Gọi $\vec u = (a;1;b)$, $(a;b \in R)$, tính $S = a + b.$
A. $S=1.$
B. $S=-1.$
C. $S=0.$
D. $S=-2.$
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(5;3;-1)$, $B(2;3;-4)$ và $C(1;2;0).$ Biết tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm $A$, $B$, $C$ là đường thẳng $\Delta .$ Gọi $\vec u = (a;b;1)$ $(a;b \in R)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta .$ Tính $S = a+b.$
A. $S=1.$
B. $S=-1.$
C. $S=0.$
D. $S= 4.$
2. BẢNG ĐÁP ÁN
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Đáp án | D | B | B | D | B |
| Câu | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Đáp án | A | C | D | B | C |
| Câu | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| Đáp án | C | A | B | C | D |
