[Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 12 Kết nối tri thức] Đề thi học kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức - Đề số 3
Bài học này tập trung vào việc cung cấp một đề thi học kì 1 môn Toán lớp 12 theo chương trình Kết nối tri thức. Đề thi được thiết kế để đánh giá toàn diện kiến thức và kỹ năng của học sinh về các chủ đề chính trong học kì 1, bao gồm các nội dung trọng tâm như hàm số, nguyên hàm, tích phân, số phức, phương trình và bất phương trình logarit, lượng giác, ... Mục tiêu chính là giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi học kì 1.
2. Kiến thức và kỹ năngHọc sinh sẽ được ôn tập và đánh giá các kiến thức và kỹ năng sau:
Hàm số: Khái niệm, tính chất, đồ thị, ứng dụng. Nguyên hàm và tích phân: Các phương pháp tính nguyên hàm, tính tích phân xác định, ứng dụng tích phân trong tính diện tích. Số phức: Các phép toán trên số phức, số phức liên hợp, dạng lượng giác của số phức. Phương trình và bất phương trình logarit, lượng giác: Giải và biện luận phương trình, bất phương trình. Đạo hàm: Áp dụng đạo hàm để tìm cực trị, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Kỹ năng giải bài toán: Phân tích đề bài, lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Kỹ năng vận dụng lý thuyết: Vận dụng kiến thức đã học vào các bài toán thực tế. 3. Phương pháp tiếp cậnĐề thi được thiết kế theo cấu trúc gồm các dạng bài tập khác nhau, bao gồm:
Bài tập trắc nghiệm:
Đánh giá kiến thức cơ bản.
Bài tập tự luận:
Đánh giá khả năng vận dụng và tư duy của học sinh.
Bài toán thực tế:
Vận dụng kiến thức vào các tình huống thực tế.
Kiến thức trong đề thi có nhiều ứng dụng trong thực tế như:
Tính toán diện tích, thể tích: Trong lĩnh vực xây dựng, thiết kế. Phân tích và dự đoán: Trong lĩnh vực kinh tế, tài chính. Mô hình hóa các hiện tượng tự nhiên: Trong lĩnh vực vật lý, hoá học. 5. Kết nối với chương trình họcĐề thi này bao gồm các nội dung trải dài từ các bài học đầu tiên trong chương trình học kì 1, giúp học sinh ôn tập tổng quát toàn bộ kiến thức. Đề thi cũng giúp học sinh chuẩn bị cho các bài học nâng cao trong các chương tiếp theo.
6. Hướng dẫn học tậpĐể đạt hiệu quả cao trong việc ôn tập và làm bài, học sinh nên:
Ôn tập lại lý thuyết:
Hiểu rõ các khái niệm, định lý, công thức.
Làm nhiều bài tập:
Thực hành các dạng bài tập khác nhau.
Phân tích đề bài:
Hiểu rõ yêu cầu của bài toán.
Lựa chọn phương pháp giải phù hợp:
Sử dụng các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân, giải phương trình, bất phương trình hiệu quả.
Kiểm tra lại kết quả:
Kiểm tra lại đáp án để tìm ra lỗi sai.
Tìm hiểu thêm các bài giảng, tài liệu tham khảo:
Sử dụng các nguồn tài liệu khác để hiểu sâu hơn về các nội dung kiến thức.
Làm bài kiểm tra theo thời gian:
Thực hành làm bài trong thời gian quy định để làm quen với áp lực thi cử.
* Nhận biết điểm yếu và khắc phục:
Xác định những điểm yếu trong kiến thức và kỹ năng để tập trung ôn luyện.
1. Đề thi
2. Học kì 1
3. Toán 12
4. Kết nối tri thức
5. Nguyên hàm
6. Tích phân
7. Số phức
8. Phương trình logarit
9. Bất phương trình
10. Lượng giác
11. Hàm số
12. Đạo hàm
13. Cực trị
14. Khảo sát hàm số
15. Đồ thị hàm số
16. Bài tập trắc nghiệm
17. Bài tập tự luận
18. Bài toán thực tế
19. Ứng dụng toán học
20. Kiến thức cơ bản
21. Kỹ năng giải toán
22. Ôn tập
23. Chuẩn bị thi
24. Toán học lớp 12
25. Chương trình Kết nối tri thức
26. Đề số 3
27. Học kì 1 năm học
28. Kiểm tra kiến thức
29. Đánh giá năng lực
30. Phương pháp giải
31. Bài tập vận dụng
32. Ôn tập tổng hợp
33. Kiến thức trọng tâm
34. Các dạng bài tập
35. Hướng dẫn giải
36. Tài liệu tham khảo
37. Bài giảng
38. Bài tập bổ sung
39. ôn luyện
40. Thi học kỳ
Đề bài
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
A.
\((6;7)\)
-
B.
\((0; - 2)\)
-
C.
\(( - \infty ; + \infty )\)
-
D.
\((6; + \infty )\)
-
A.
\(x = 3\)
-
B.
\(x = - 1\)
-
C.
\(x = 1\)
-
D.
\(x = 0\)
-
A.
-13
-
B.
-17
-
C.
-18
-
D.
7
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2 - x}}\) là
-
A.
\(y = 3\)
-
B.
\(y = \frac{1}{2}\)
-
C.
\(y = - 1\)
-
D.
\(y = 2\)
Cho hàm số \(f(x) = x + 1 + \frac{3}{{x - 6}}\). Tiệm cận xiên của đồ thị đã cho là đường thẳng
-
A.
y = x – 5
-
B.
y = x – 1
-
C.
y = x + 1
-
D.
y = x + 6
-
A.
x = -1
-
B.
x = 1
-
C.
x = 0
-
D.
Đáp án khác
Cho hình hộp ABCD.EFGH. Kết quả phép toán \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {EH} \) là
-
A.
\(\overrightarrow {CA} \)
-
B.
\(\overrightarrow {EG} \)
-
C.
\(\overrightarrow {FH} \)
-
D.
\(\overrightarrow {AD} \)
Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm M nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
-
B.
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 0\)
-
C.
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MG} \)
-
D.
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;-1;0) và B(0;3;2). Tọa độ của vecto \(\overrightarrow {AB} \) là
-
A.
(-2;4;-2)
-
B.
(2;-4;-2)
-
C.
(-2;4;2)
-
D.
(-1;2;1)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow u = (4;2;1)\) và \(\overrightarrow v = (1;2;1)\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \).
-
A.
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 8\)
-
B.
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 6\)
-
C.
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0\)
-
D.
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 9\)
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;-2;3). Điểm M’ đối xứng với M qua trục Oy có tọa độ
-
A.
(1;2;3)
-
B.
(-1;2;-3)
-
C.
(-1;-2;-3)
-
D.
(1;-2;-3)
Thống kê chỉ số chất lượng không khí (AQI) tại một địa điểm vào các ngày trong tháng 6/2022 được cho trong bảng sau:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
-
A.
50
-
B.
250
-
C.
150
-
D.
8
Cho hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{x - 3}}\) có đồ thị là (C).
a) Đồ thị (C) có tiệm cận xiên là y = –x – 6.
b) Đồ thị (C) nhận điểm I(3;-9) làm tâm đối xứng.
c) Đồ thị (C) có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với Oy.
d) Đồ thị (C) không cắt trục Ox.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AB = a, AD = 2a, SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M. N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD.
a) Hai vecto \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CD} \) là hai vecto cùng phương, cùng hướng.
b) Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {SC} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng \({60^o}\).
c) Tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
d) Độ dài của vecto \(\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} \) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(-4;3;-1) và N(2;-1;-3).
a) \(\overrightarrow {OM} = ( - 4;3; - 1)\).
b) Cho vecto \(\overrightarrow v = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \) và \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow v \). Tọa độ điểm A là (-5;1;2).
c) Gọi G là trọng tâm tam giác OMN. Tọa độ hình chiếu của G trên Oxy là \(\left( {0;0; - \frac{4}{3}} \right)\).
d) Gọi I là trung điểm đoạn MN. Tọa độ vecto \(\overrightarrow w = 3\overrightarrow i + 2\overrightarrow {ON} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OI} \) là \(\left( {\frac{9}{2};\frac{{ - 5}}{2}; - 7} \right)\).
a) \(\overrightarrow {OM} = ( - 4;3; - 1)\).
b) Cho vecto \(\overrightarrow v = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \) và \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow v \). Tọa độ điểm A là (-5;1;2).
c) Gọi G là trọng tâm tam giác OMN. Tọa độ hình chiếu của G trên Oxy là \(\left( {0;0; - \frac{4}{3}} \right)\).
d) Gọi I là trung điểm đoạn MN. Tọa độ vecto \(\overrightarrow w = 3\overrightarrow i + 2\overrightarrow {ON} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OI} \) là \(\left( {\frac{9}{2};\frac{{ - 5}}{2}; - 7} \right)\).
Bảng dưới đây cho ta bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê cân nặng của 40 học sinh lớp 12B trong một trường trung học phổ thông (đơn vị: kg).
a) Số học sinh nặng dưới 50 kg là 12.
b) Cân nặng trung bình của 40 học sinh là 55 kg.
c) Phương sai của mẫu số liệu trên bằng 129.
d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần mười) là 11,3.
Giả sử số lượng của một quần thể nấm X tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số \(P(t) = 120{e^{0,15t}}\), trong đó thời gian t được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu t = 0, tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm X là bao nhiêu (đơn vị: tế bào/giờ)?
Đáp án:
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + 1}}\) \((a,b,c \in \mathbb{R})\) có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên b có thể nhận trong khoảng (-5;5)?
Đáp án:
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 15. Biết độ dài \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \) bằng \(a\sqrt 6 \). Khi đó, giá trị của a bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 8m, rộng 6m và cao 4m có hai chiếc quạt treo tường. Chiếc quạt A treo chính giữa bức tường 8m và cách trần 1m, chiếc quạt B treo chính giữa bức tường 6m và cách trần 1,5m. Hỏi khoảng cách giữa hai chiếc quạt AB cách nhau bao nhiêu m (làm tròn đến hàng phần nghìn)?
Đáp án:
Bảng sau thống kê cân nặng của 50 quả xoài Thanh Ca được lựa chọn ngẫu nhiên sau khi thu hoạch ở một nông trường.
Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án:
Lời giải và đáp án
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
A.
\((6;7)\)
-
B.
\((0; - 2)\)
-
C.
\(( - \infty ; + \infty )\)
-
D.
\((6; + \infty )\)
Đáp án : A
Quan sát bảng xét dấu và nhận xét.
Trên khoảng (6;7), f’(x) mang dấu âm nên f(x) nghịch biến trên (6;7).
-
A.
\(x = 3\)
-
B.
\(x = - 1\)
-
C.
\(x = 1\)
-
D.
\(x = 0\)
Đáp án : B
Quan sát đồ thị và nhận xét.
Hàm số đạt cực đại tại x = -1.
-
A.
-13
-
B.
-17
-
C.
-18
-
D.
7
Đáp án : C
Quan sát đồ thị và nhận xét.
Giá trị nhỏ nhất của f(x) là y = -18 tại x = 7.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2 - x}}\) là
-
A.
\(y = 3\)
-
B.
\(y = \frac{1}{2}\)
-
C.
\(y = - 1\)
-
D.
\(y = 2\)
Đáp án : C
Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} + \infty } f(x) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } f(x) = {y_0}\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 3}}{{2 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - \frac{3}{x}}}{{\frac{2}{x} - 1}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1\) nên đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận ngang là \(y = - 1\).
Cho hàm số \(f(x) = x + 1 + \frac{3}{{x - 6}}\). Tiệm cận xiên của đồ thị đã cho là đường thẳng
-
A.
y = x – 5
-
B.
y = x – 1
-
C.
y = x + 1
-
D.
y = x + 6
Đáp án : C
Đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x + 1 + \frac{3}{{x - 6}} - (x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{x - 6}} = 0\).
Vây y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
-
A.
x = -1
-
B.
x = 1
-
C.
x = 0
-
D.
Đáp án khác
Đáp án : B
Hàm số f(x) đạt cực đại tại \({x_0}\) khi \(f'({x_0}) = 0\) và f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua
\({x_0}\).
Quan sát đồ thị y = f’(x) ta thấy f’(x) > 0 trên (-1;1) và f’(x) < 0 trên (1;4) nên x = 1 là điểm cực đại của hàm số f(x).
Cho hình hộp ABCD.EFGH. Kết quả phép toán \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {EH} \) là
-
A.
\(\overrightarrow {CA} \)
-
B.
\(\overrightarrow {EG} \)
-
C.
\(\overrightarrow {FH} \)
-
D.
\(\overrightarrow {AD} \)
Đáp án : B
Dựa vào khái niệm vecto bằng nhau, vecto đối nhau, quy tắc ba điểm.
Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {EG} \).
Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm M nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
-
B.
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 0\)
-
C.
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MG} \)
-
D.
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)
Đáp án : D
Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác.
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;-1;0) và B(0;3;2). Tọa độ của vecto \(\overrightarrow {AB} \) là
-
A.
(-2;4;-2)
-
B.
(2;-4;-2)
-
C.
(-2;4;2)
-
D.
(-1;2;1)
Đáp án : C
\(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A})\).
\(\overrightarrow {AB} = (0 - 2;3 + 1;2 - 0) = ( - 2;4;2)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow u = (4;2;1)\) và \(\overrightarrow v = (1;2;1)\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \).
-
A.
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 8\)
-
B.
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 6\)
-
C.
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0\)
-
D.
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 9\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = {x_a}.{x_b} + {y_a}.{y_b} + {z_a}.{z_b}\).
Ta có: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 4.1 + 2.2 + 1.1 = 9\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;-2;3). Điểm M’ đối xứng với M qua trục Oy có tọa độ
-
A.
(1;2;3)
-
B.
(-1;2;-3)
-
C.
(-1;-2;-3)
-
D.
(1;-2;-3)
Đáp án : C
Điểm M’ đối xứng với M(a;b;c) qua trục Oy có tọa độ M’(-a;b;-c).
Điểm M’ đối xứng với M(1;-2;3) qua trục Oy có tọa độ M’(-1;-2;-3).
Thống kê chỉ số chất lượng không khí (AQI) tại một địa điểm vào các ngày trong tháng 6/2022 được cho trong bảng sau:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
-
A.
50
-
B.
250
-
C.
150
-
D.
8
Đáp án : B
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên chứa dữ liệu.
R = 250 – 0 = 250.
Cho hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{x - 3}}\) có đồ thị là (C).
a) Đồ thị (C) có tiệm cận xiên là y = –x – 6.
b) Đồ thị (C) nhận điểm I(3;-9) làm tâm đối xứng.
c) Đồ thị (C) có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với Oy.
d) Đồ thị (C) không cắt trục Ox.
a) Đồ thị (C) có tiệm cận xiên là y = –x – 6.
b) Đồ thị (C) nhận điểm I(3;-9) làm tâm đối xứng.
c) Đồ thị (C) có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với Oy.
d) Đồ thị (C) không cắt trục Ox.
Lập bảng biến thiên và nhận xét.
a) Đúng. \(f(x) = \frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{x - 3}} = - x - 6 - \frac{{14}}{{x - 3}}\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - ( - x - 6)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - x - 6 - \frac{{14}}{{x - 3}} - ( - x - 6)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{{14}}{{x - 3}}} \right) = 0\).
Vậy đồ thị f(x) có tiệm cận xiên là y = –x – 6.
b) Đúng. Đồ thị có tiệm cận đứng x = 3 và tiệm cận xiên y = –x – 6.
Tâm đối xứng của đồ thị là giao của hai đường thẳng x = 3 và y = –x – 6.
Với x = 3 ta có y = –3 – 6 = –9.
Vậy tâm đối xứng là I(3;-9).
c) Đúng. Tập xác định: D = R\{3}.
Ta có \(f'(x) = \left( {\frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{x - 3}}} \right)' = \frac{{( - 2x - 3)(x - 3) - ( - {x^2} - 3x + 4)}}{{{{(x - 3)}^2}}}\)
\( = \frac{{ - 2{x^2} + 3x + 9 + {x^2} + 3x - 4}}{{{{(x - 3)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 6x + 5}}{{{{(x - 3)}^2}}}\).
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt {14} \).
Bảng biến thiên:
Hai cực trị là \(x = 3 - \sqrt {14} \) và \(x = 3 + \sqrt {14} \) trái dấu nên chúng nằm ở hai phía đối với Oy.
d) Sai. Đồ thị cắt trục Ox tại điểm có tung độ y = 0 suy ra hoành độ các giao điểm đó là nghiệm của phương trình \( - {x^2} - 3x + 4 = 0\). Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = -4 nên đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AB = a, AD = 2a, SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M. N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD.
a) Hai vecto \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CD} \) là hai vecto cùng phương, cùng hướng.
b) Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {SC} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng \({60^o}\).
c) Tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
d) Độ dài của vecto \(\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} \) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
a) Hai vecto \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CD} \) là hai vecto cùng phương, cùng hướng.
b) Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {SC} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng \({60^o}\).
c) Tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
d) Độ dài của vecto \(\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} \) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Dựa vào khái niệm vecto cùng phương, cùng hướng, cách tính độ dài vecto, tích vô hướng của hai vecto và góc giữa hai vecto.
a) Sai. Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD.
Khi đó \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CD} \) là hai vecto cùng phương, ngược hướng.
b) Sai. Ta có ABCD là hình chữ nhật nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = a\sqrt 5 \).
Vì SA vuông góc với đáy (ABCD) nên SA vuông góc với AC. Xét tam giác SAC vuông tại A:
\(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }}\) suy ra \(\widehat {SCA} \approx {41^o}48'\).
Ta có \(\left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CS} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {SCA} \approx {41^o}48'\).
c) Đúng. Vì SA vuông góc với đáy (ABCD) nên SA vuông góc với AB. Xét tam giác SAB vuông tại A:
\(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \).
Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên \(AM = SM = MB = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Sử dụng định lý cosin cho tam giác MAB:
\(\cos \widehat {MAB} = \frac{{M{A^2} + A{B^2} - M{B^2}}}{{2MA.MB}} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} + {a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}.a}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Ta có \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = AM.AB\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.a.\frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
d) Sai. Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD.
Do đó \(MN = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} } \right| = \left| {\overrightarrow {NM} } \right| = MN = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(-4;3;-1) và N(2;-1;-3).
a) \(\overrightarrow {OM} = ( - 4;3; - 1)\).
b) Cho vecto \(\overrightarrow v = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \) và \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow v \). Tọa độ điểm A là (-5;1;2).
c) Gọi G là trọng tâm tam giác OMN. Tọa độ hình chiếu của G trên Oxy là \(\left( {0;0; - \frac{4}{3}} \right)\).
d) Gọi I là trung điểm đoạn MN. Tọa độ vecto \(\overrightarrow w = 3\overrightarrow i + 2\overrightarrow {ON} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OI} \) là \(\left( {\frac{9}{2};\frac{{ - 5}}{2}; - 7} \right)\).
a) \(\overrightarrow {OM} = ( - 4;3; - 1)\).
b) Cho vecto \(\overrightarrow v = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \) và \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow v \). Tọa độ điểm A là (-5;1;2).
c) Gọi G là trọng tâm tam giác OMN. Tọa độ hình chiếu của G trên Oxy là \(\left( {0;0; - \frac{4}{3}} \right)\).
d) Gọi I là trung điểm đoạn MN. Tọa độ vecto \(\overrightarrow w = 3\overrightarrow i + 2\overrightarrow {ON} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OI} \) là \(\left( {\frac{9}{2};\frac{{ - 5}}{2}; - 7} \right)\).
a) \(\overrightarrow {OM} = ( - 4;3; - 1)\).
b) Cho vecto \(\overrightarrow v = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \) và \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow v \). Tọa độ điểm A là (-5;1;2).
c) Gọi G là trọng tâm tam giác OMN. Tọa độ hình chiếu của G trên Oxy là \(\left( {0;0; - \frac{4}{3}} \right)\).
d) Gọi I là trung điểm đoạn MN. Tọa độ vecto \(\overrightarrow w = 3\overrightarrow i + 2\overrightarrow {ON} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OI} \) là \(\left( {\frac{9}{2};\frac{{ - 5}}{2}; - 7} \right)\).
Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vecto, nhân vecto với một số.
a) Đúng. Tọa độ \(\overrightarrow {OM} \) là tọa độ điểm M(-4;3;-1).
b) Đúng. \(\overrightarrow v = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k = (1;2; - 3)\).
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 - {x_A} = 1\\3 - {y_A} = 2\\ - 1 - {z_A} = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = - 5\\{y_A} = 1\\{z_A} = 2\end{array} \right.\), vậy A(-5;1;2).
c) Sai. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_O} + {x_M} + {x_N}}}{3} = \frac{{0 - 4 + 2}}{3} = - \frac{2}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_O} + {y_M} + {y_N}}}{3} = \frac{{0 + 3 - 1}}{3} = \frac{2}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_O} + {z_M} + {z_N}}}{3} = \frac{{0 - 1 - 3}}{3} = \frac{{ - 4}}{3}\end{array} \right.\), vậy G\(\left( { - \frac{2}{3};\frac{2}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\).
Tọa độ hình chiếu của G trên Oxy là \(\left( { - \frac{2}{3};\frac{2}{3};0} \right)\).
d) Sai. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{ - 4 + 2}}{2} = - 1\\{y_I} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = \frac{{3 - 1}}{2} = 1\\{z_I} = \frac{{{z_M} + {z_N}}}{2} = \frac{{ - 1 - 3}}{2} = - 2\end{array} \right.\), vậy I(-1;1;-2).
Bảng dưới đây cho ta bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê cân nặng của 40 học sinh lớp 12B trong một trường trung học phổ thông (đơn vị: kg).
a) Số học sinh nặng dưới 50 kg là 12.
b) Cân nặng trung bình của 40 học sinh là 55 kg.
c) Phương sai của mẫu số liệu trên bằng 129.
d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần mười) là 11,3.
a) Số học sinh nặng dưới 50 kg là 12.
b) Cân nặng trung bình của 40 học sinh là 55 kg.
c) Phương sai của mẫu số liệu trên bằng 129.
d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần mười) là 11,3.
a) Số học sinh nặng dưới 50 kg là tổng tần số hai nhóm [30;40) và [40;50).
b) Số trung bình: \(\bar x{\rm{\;}} = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\).
c) Phương sai: \({s^2} = \frac{{m{{({x_1} - \bar x)}^2} + ... + {m_k}{{({x_k} - \bar x)}^2}}}{n}\).
d) Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {{s^2}} \).
a) Đúng. Số học sinh nặng dưới 50 kg là 2 + 10 = 12 (kg).
b) Sai. Cân nặng trung bình của 40 học sinh là:
\(\overline x = \frac{{35.2 + 45.10 + 55.16 + 65.8 + 75.2 + 85.2}}{{40}} = 56\) (kg).
c) Đúng. Phương sai của mẫu số liệu trên là:
\({s^2} = \frac{\begin{array}{l}2.{(35 - 56)^2} + 10.{(45 - 56)^2} + 16.{(55 - 56)^2}\\ + 8.{(65 - 56)^2} + 2.{(75 - 56)^2} + 2.{(85 - 56)^2}\end{array}}{{40}} = 129\).
d) Sai. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là \(s = \sqrt {129} \approx 11,4\).
Giả sử số lượng của một quần thể nấm X tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số \(P(t) = 120{e^{0,15t}}\), trong đó thời gian t được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu t = 0, tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm X là bao nhiêu (đơn vị: tế bào/giờ)?
Đáp án:
Đáp án:
Tính P’(0).
Hàm tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm là \(P'(t) = 120.0,15.{e^{0,15t}} = 18.{e^{0,15t}}\) (tế bào/giờ).
Tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm ở thời điểm t = 0 là \(P'(0) = 18.{e^{0,15.0}} = 18.{e^0} = 18\) (tế bào/giờ).
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + 1}}\) \((a,b,c \in \mathbb{R})\) có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên b có thể nhận trong khoảng (-5;5)?
Đáp án:
Đáp án:
Tìm điều kiện của b dựa vào các đường tiệm cận của đồ thị và sự biến thiên của hàm số.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + 1}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - \frac{1}{c}\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a}{c}\).
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \( - \frac{1}{c} = - 1 \Leftrightarrow c = 1\) và \(\frac{a}{c} = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{1} = 2 \Leftrightarrow a = 2\).
Ta có \(y' = \frac{{a - bc}}{{{{(cx + 1)}^2}}} = \frac{{2 - b}}{{{{(x + 1)}^2}}}\).
Vì hàm số đồng biến trên\(( - \infty ; - 1)\) và \(( - 1; + \infty )\) nên \(y' = \frac{{2 - b}}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0 \Leftrightarrow 2 - b > 0 \Leftrightarrow b < 2\).
Các giá trị nguyên b thỏa mãn trên (-5;5) là -5; -4; …; -1; 0 ; 1.
Vậy có 7 giá trị nguyên b có thể nhận được.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 15. Biết độ dài \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \) bằng \(a\sqrt 6 \). Khi đó, giá trị của a bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
Sử dụng tính chất của trung điểm, trọng tâm, tích của một số với một vecto.
Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm của CD.
Khi đó: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \). Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {3\overrightarrow {AG} } \right| = 3AG\).
Xét tam giác đều BCD có \(BM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}BC = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.15\).
G là trọng tâm tam giác BCD nên \(BG = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3}.\frac{{15\sqrt 3 }}{2} = 5\sqrt 3 \).
Vì tứ diện ABCD đều nên AG vuông góc với mặt phẳng (BCD). Do đó \(\widehat {AGB} = {90^o}\).
Xét tam giác ABG vuông tại G: \(AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {{\left( {5\sqrt 3 } \right)}^2}} = 5\sqrt 6 \).
Khi đó \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right| = 3AG = 3.5\sqrt 6 = 15\sqrt 6 \).
Vậy a = 15.
Một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 8m, rộng 6m và cao 4m có hai chiếc quạt treo tường. Chiếc quạt A treo chính giữa bức tường 8m và cách trần 1m, chiếc quạt B treo chính giữa bức tường 6m và cách trần 1,5m. Hỏi khoảng cách giữa hai chiếc quạt AB cách nhau bao nhiêu m (làm tròn đến hàng phần nghìn)?
Đáp án:
Đáp án:
Chọn hệ trục tọa độ, tìm tọa độ hai chiếc quạt dựa vào hệ trục đó rồi tính khoảng cách.
Công thức tính khoảng cách: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, khi đó ta có A(4;0;3) và điểm \(B\left( {0;3;\frac{5}{2}} \right)\).
Khoảng cách giữa hai chiếc quạt là:
\(AB = \sqrt {{{(0 - 4)}^2} + {{(3 - 0)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2} - 3} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {101} }}{2} \approx 5,025\) (m).
Bảng sau thống kê cân nặng của 50 quả xoài Thanh Ca được lựa chọn ngẫu nhiên sau khi thu hoạch ở một nông trường.
Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án:
Đáp án:
Công thức: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
Cỡ mẫu: n = 3 + 13 + 18 + 11 + 5 = 50.
Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{50}}\) là mẫu số liệu gốc được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{13}} \in [290;330)\).
\({Q_1} = 290 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 3}}{{13}}(330 - 290) = \frac{{4150}}{{13}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{38}} \in [370;410)\).
\({Q_3} = 370 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} - (3 + 13 + 18)}}{{11}}(410 - 370) = \frac{{4210}}{{11}}\).
Vậy \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{4210}}{{11}} - \frac{{4150}}{{13}} = \frac{{9080}}{{143}} \approx 63,5\).
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 12
Môn Toán học Lớp 12
Môn Vật lí Lớp 12
Môn Sinh học Lớp 12
Môn Hóa học Lớp 12
Môn Lịch sử Lớp 12
Môn Tiếng Anh Lớp 12
Lời giải và bài tập Lớp 12 đang được quan tâm
