[SGK Toán Lớp 12 Chân trời sáng tạo] Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 Chân trời sáng tạo
Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 Chân trời sáng tạo
1. Tổng quan về bài họcBài học này tập trung vào việc ứng dụng tích phân vào các bài toán hình học, bao gồm tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong, tính thể tích vật thể tròn xoay. Mục tiêu chính là giúp học sinh nắm vững công thức và phương pháp giải các bài toán ứng dụng tích phân trong hình học, từ đó nâng cao khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán phức tạp.
2. Kiến thức và kỹ năngSau khi hoàn thành bài học, học sinh sẽ:
Nắm vững các công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong. Hiểu rõ cách tính thể tích vật thể tròn xoay. Áp dụng tích phân để giải quyết các bài toán hình học phức tạp. Phân tích bài toán, lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Sử dụng công cụ hỗ trợ (nếu có) để giải các bài toán phức tạp. 3. Phương pháp tiếp cậnBài học được tổ chức theo trình tự logic, bắt đầu từ các khái niệm cơ bản về tích phân và kết nối chúng với các ứng dụng hình học. Bài học sẽ bao gồm:
Giải thích lý thuyết:
Giải thích chi tiết các công thức và phương pháp tính diện tích, thể tích.
Ví dụ minh họa:
Các ví dụ minh họa cụ thể với từng loại bài toán, từ đơn giản đến phức tạp. Các ví dụ được lựa chọn để phản ánh nhiều trường hợp và kỹ thuật giải khác nhau.
Bài tập thực hành:
Các bài tập thực hành được sắp xếp theo trình tự tăng dần độ khó, giúp học sinh làm quen với các kỹ năng vận dụng.
Thảo luận nhóm:
Khuyến khích học sinh thảo luận và trao đổi ý kiến với nhau, giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài học.
Kiến thức về ứng dụng hình học của tích phân có nhiều ứng dụng thực tế, ví dụ:
Thiết kế công trình:
Tính toán diện tích, thể tích các vật thể trong thiết kế xây dựng.
Kỹ thuật chế tạo:
Ứng dụng trong thiết kế các chi tiết máy móc, tính toán thể tích vật liệu.
Khoa học tự nhiên:
Tính toán diện tích, thể tích trong các bài toán vật lý, hóa học.
Bài học này là một phần quan trọng của chương trình Toán lớp 12, kết nối với các khái niệm về nguyên hàm, tích phân đã học ở các bài trước. Nắm vững bài học này sẽ giúp học sinh chuẩn bị tốt cho các bài học tiếp theo và các kỳ thi.
6. Hướng dẫn học tậpĐể học tốt bài học này, học sinh nên:
Đọc kỹ lý thuyết: Hiểu rõ các khái niệm, công thức và phương pháp giải. Làm lại các ví dụ: Thực hành giải các ví dụ minh họa trong sách giáo khoa. Giải các bài tập: Thử sức với các bài tập trong sách bài tập và các đề thi mẫu. Hỏi đáp: Hỏi giáo viên hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn. * Sử dụng công cụ hỗ trợ: Nếu cần, học sinh có thể tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo hoặc sử dụng phần mềm hỗ trợ tính toán. 40 Keywords về Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 Chân trời sáng tạo:1. Tích phân
2. Hình học
3. Diện tích hình phẳng
4. Thể tích vật thể tròn xoay
5. Nguyên hàm
6. Đường cong
7. Phương trình đường cong
8. Hệ tọa độ
9. Parabol
10. Hypebol
11. Elip
12. Đường thẳng
13. Hình thang cong
14. Hình tròn
15. Hình trụ
16. Hình nón
17. Hình cầu
18. Công thức tính diện tích
19. Công thức tính thể tích
20. Phương pháp tích phân
21. Toán 12
22. Chân trời sáng tạo
23. SGK Toán 12
24. Bài tập
25. Ví dụ
26. Giải bài tập
27. Ứng dụng thực tế
28. Hình học giải tích
29. Đường thẳng
30. Parabol
31. Hypebol
32. Elip
33. Vật thể tròn xoay
34. Diện tích
35. Thể tích
36. Nguyên hàm
37. Tích phân xác định
38. Tích phân bất định
39. Phương pháp đổi biến
40. Phương pháp từng phần
Download file Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 Chân trời sáng tạo tại đây!!! (Link tải file nếu có)
1.tính diện tích hình phẳng
a) diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
|
diện tích s của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức \(s = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \) |
nếu hàm số \(y = f(x)\) không đổi dấu trên đoạn [a;b] thì \(s = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} = \left| {\int\limits_a^b {f(x)dx} } \right|\).
đặc biệt, nếu phương trình \(f(x) = 0\) không có nghiệm trên khoảng (a;b) thì công thức trên vẫn đúng.
nếu phương trình \(f(x) = 0\) chỉ có một nghiệm c trên khoảng (a;b) thì \(s = \left| {\int\limits_a^c {f(x)dx} } \right| + \left| {\int\limits_c^b {f(x)dx} } \right|\).
ví dụ: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = f(x) = {x^2} - 4x + 3\), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3.
giải: diện tích cần tìm là \(s = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|dx} \).
ta có: \({x^2} - 4x + 3 = 0 \leftrightarrow \) x = 1 hoặc x = 3.
với \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì \(f(x) \ge 0\). với \(x \in \left[ {1;3} \right]\) thì \(f(x) \le 0\).
vậy \(s = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)dx} + \int\limits_1^3 {\left[ { - \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)} \right]dx} \)
\( = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right. - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3\\1\end{array}} \right. = \frac{8}{3}\).
b) diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b
|
diện tích s của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(s = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \) |
ví dụ: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2}\), \(y = 2 - x\) và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
giải: diện tích cần tìm là \(\int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - (2 - x)} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|dx} \).
ta có \({x^2} + x - 2 = 0 \leftrightarrow \) x = 1 hoặc x = -2.
vậy \(s = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|dx} = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x - 2} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + x - 2} \right)dx} } \right|\)
\( = \left| {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right.} \right| + \left| {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right.} \right| = \left| { - \frac{7}{6}} \right| + \left| {\frac{{11}}{6}} \right| = 3\).
2. tính thể tích của hình khối
|
cho một vật thể trong không gian giữa hai mặt phẳng (p) và (q) cùng vuông góc với trục ox tại các điểm a và b. một mặt phẳng vuông góc với trục ox tại điểm có hoành độ là x \((a \le x \le b)\) cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là s(x), với s(x) là hàm số liên tục. thể tích của vật thể được tính bằng công thức \(v = \int\limits_a^b {s(x)dx} \) |
ví dụ: cho khối lăng trụ tam giác có diện tích đáy s và chiều cao h. sử dụng tích phân, tính thể tích của khối lăng trụ theo s và h.
giải: chọn trục ox song song với đường cao của khối lăng trụ sao cho hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với ox tại x = 0 và x = h.
mặt phẳng vuông góc với trục ox tại điểm có hoành độ x \((0 \le x \le h)\) cắt lăng trụ theo mặt cắt có diện tích không đổi s(x) = s. do đó, thể tích khối lăng trụ là \(v = \int\limits_0^h {s(x)dx} = \int\limits_0^h {sdx} = sx\left| {\begin{array}{*{20}{c}}h\\0\end{array}} \right. = sh\).
3. thể tích khối tròn xoay
cho \(y = f(x)\) là hàm số liên tục và không âm trên đoạn [a;b]. gọi d là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.
quay d quanh trục ox ta được một hình khối gọi là khối tròn xoay.
cắt khối tròn xoay trên bởi mặt phẳng vuông góc với trục ox tại điểm có hoành độ x với \(x \in [a;b]\), ta được mặt cắt là hình tròn có bán kính bằng \(f(x)\) và diện tích là \(s(x) = \pi {f^2}(x)\).
|
cho hình phẳng d được giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn [a;b], trục ox và hai đường thẳng x = a, y = b. quay d quanh trục ox, ta được khối tròn xoay có thể tích được tính bằng công thức \(v = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \)\(\) |
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 12
Môn Toán học Lớp 12
Môn Vật lí Lớp 12
Môn Sinh học Lớp 12
Môn Hóa học Lớp 12
Môn Lịch sử Lớp 12
Môn Tiếng Anh Lớp 12
Lời giải và bài tập Lớp 12 đang được quan tâm
