[SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá] Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 Cùng khám phá
Bài học này tập trung vào việc ứng dụng tích phân trong hình học, cụ thể là tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay. Mục tiêu chính là giúp học sinh nắm vững các công thức và phương pháp tính diện tích, thể tích dựa trên tích phân, từ đó vận dụng giải quyết các bài toán hình học phức tạp hơn. Học sinh sẽ được trang bị kiến thức và kỹ năng cần thiết để hiểu sâu hơn về mối liên hệ giữa tích phân và hình học, và rèn luyện khả năng tư duy logic trong giải quyết vấn đề.
2. Kiến thức và kỹ năng Kiến thức: Học sinh sẽ được ôn tập và củng cố kiến thức về tích phân xác định, các nguyên hàm cơ bản. Học sinh sẽ hiểu rõ về cách sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong, và tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng quanh trục tọa độ. Học sinh sẽ được làm quen với các công thức tính diện tích và thể tích trong các trường hợp cụ thể. Kỹ năng: Xác định các giới hạn tích phân trong các bài toán tính diện tích. Áp dụng các phương pháp tính tích phân để tính diện tích và thể tích. Vẽ đồ thị các hàm số liên quan để hình dung và phân tích bài toán. Phân tích bài toán, lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Vận dụng kiến thức tích phân để giải quyết các bài toán hình học phức tạp. Ghi nhớ và vận dụng linh hoạt các công thức tính diện tích và thể tích. 3. Phương pháp tiếp cậnBài học được thiết kế theo phương pháp hướng dẫn u2013 thực hành. Ban đầu, bài học sẽ cung cấp các lý thuyết và công thức cần thiết. Sau đó, các ví dụ minh họa sẽ được trình bày chi tiết, từ đơn giản đến phức tạp, giúp học sinh hiểu rõ cách vận dụng lý thuyết vào giải quyết bài toán. Bài học sẽ kết hợp giữa lý thuyết và thực hành, với nhiều bài tập để học sinh tự luyện tập và rèn kỹ năng. Sử dụng đồ thị, hình vẽ minh họa sẽ giúp học sinh dễ dàng hình dung và hiểu rõ hơn về bài toán.
4. Ứng dụng thực tếKiến thức về ứng dụng hình học của tích phân có rất nhiều ứng dụng trong đời sống và các lĩnh vực khác:
Thiết kế: Tính toán diện tích, thể tích của các vật thể trong thiết kế kiến trúc, đồ họa. Kỹ thuật: Xác định diện tích mặt cắt, thể tích vật liệu trong các bài toán kỹ thuật. Toán học ứng dụng: Tính diện tích và thể tích trong các bài toán vật lý, hóa học, sinh học. 5. Kết nối với chương trình họcBài học này là phần mở rộng và nâng cao kiến thức về tích phân, tiếp nối các bài học về tích phân xác định trong chương trình Toán lớp 12. Kiến thức trong bài học này sẽ được sử dụng trong các bài toán phức tạp hơn, liên quan đến hình học không gian trong các chương trình học tiếp theo. Nó cũng tạo nền tảng vững chắc cho việc học các chuyên đề khác liên quan đến tích phân.
6. Hướng dẫn học tập Chuẩn bị bài:
Ôn lại kiến thức về tích phân xác định, nguyên hàm, các phương pháp tính tích phân.
Theo dõi bài giảng:
Chú ý các ví dụ minh họa, các bước giải bài toán.
Luyện tập:
Giải các bài tập trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo.
Thảo luận:
Thảo luận với bạn bè, giáo viên về các vấn đề khó khăn trong bài học.
Sử dụng đồ thị:
Vẽ đồ thị các hàm số để hình dung và phân tích bài toán.
Tìm kiếm thông tin:
Tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo liên quan để mở rộng kiến thức.
Thực hành giải quyết vấn đề:
Áp dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán hình học phức tạp.
1. tính diện tích hình phẳng
hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
|
diện tích s của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức \(s = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \) |
ví dụ: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4\), trục hoành và các đường thẳng x = -2, x = 3.
giải:
gọi s là diện tích hình phẳng cần tìm. ta có:
\(s = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} = s = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} + s = \int\limits_2^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} \)
\(\int\limits_{ - 2}^2 {({x^2} - 4)dx} + \int\limits_2^3 {({x^2} - 4)dx} = \left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 2}\end{array} + } \right.\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\end{array}} \right. = 13\) (đvdt).
hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b
|
diện tích s của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(s = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \) |
ví dụ: tính diện tích hình phẳng (h) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} - 2\), \(y = x\) và các đường thẳng x = -1, x= 2.
giải:
ta có \(x \ge {x^2} - 2\) với \(x \in [ - 1;2]\).
diện tích hình phẳng đã cho là:
\(s = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} - 2 - x} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} + 2 + x} \right)dx} = \left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 1}\end{array}} \right. = \frac{9}{2}\) (đvdt).
chú ý:
nếu hàm số f(x) – g(x) không đổi dấu trên đoạn [a;b] thì:
\(s = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} = \left| {\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} } \right|\).
2. tính thể tích vật thể
tính thể tích vật thể
|
cho một vật thể trong không gian oxyz. gọi b là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục ox tại điểm x \((a \le x \le b)\) thì phần chung giữa mặt phẳng và vật thể có diện tích s(x). giả sử s(x) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). khi đó thể tích v của vật thể b được tính bởi công thức \(v = \int\limits_a^b {s(x)dx} \) |
ví dụ: hãy sử dụng tích phân tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng s (không đổi) và chiều cao h.
giải:
chọn trục ox song song với đường cao của khối lăng trụ, hai đáy nằm trong mặt phẳng vuông góc với ox tại x= 0, x = h.
khi cắt khối lăng trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục ox tại điểm x \((a \le x \le b)\), thì phần chung giữa mặt phẳng và khối lăng trụ là một hình phẳng có diện tích\(s(x) = s\) không đổi.
thể tích khối lăng trụ là:
\(v = \int\limits_0^h {s(x)dx} = \int\limits_0^h {sdx} = (sx)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}h\\0\end{array}} \right. = sh\) (đvdt).
tính thể tích khối tròn xoay
|
cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục ox là \(v = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \) |
ví dụ 1: tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng quay quanh trục hoành \(y = {x^2} - 2x\), y = 0, x = 2.
giải:
thể tích khối tròn xoay là:
\(v = \pi \int\limits_0^2 {{{({x^2} - 2x)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^2 {({x^4} - 4{x^3} + 4{x^2})dx} \)
\( = \pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + \frac{4}{3}{x^3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\0\end{array}} \right. = \frac{{16\pi }}{{15}}\) (đvdt).
ví dụ 2: hình vẽ mô phòng phần bên trong của một chậu cây có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của đồ thị hàm số \(y = \sqrt x + \frac{3}{2}\) với \(0 \le x \le 4\) quanh trục hoành. tính thể tích phần bên trong (dung tích) của chậu cây, biết đơn vị trên các trục ox, oy là decimét.
giải:
thể tích phần trong của chậu cây là:
\(v = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt x + \frac{3}{2}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {x + 3{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{9}{4}} \right)}^2}dx} = \pi \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 2{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{9}{4}x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4\\0\end{array}} \right. = 33\pi \) (\(d{m^3}\)).
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 12
Môn Toán học Lớp 12
Môn Vật lí Lớp 12
Môn Sinh học Lớp 12
Môn Hóa học Lớp 12
Môn Lịch sử Lớp 12
Môn Tiếng Anh Lớp 12
Lời giải và bài tập Lớp 12 đang được quan tâm
