SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá] Giải bài tập 1.22 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải bài tập 1.22 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc giải bài tập số 1.22 trang 34 trong sách giáo khoa Toán 12 tập 1, chủ đề "Cùng khám phá". Mục tiêu chính là hướng dẫn học sinh cách vận dụng các kiến thức về đạo hàm, cực trị của hàm số để giải quyết bài toán thực tế liên quan đến tối ưu hóa. Bài học sẽ phân tích chi tiết từng bước giải, giúp học sinh hiểu rõ cách tiếp cận và áp dụng công thức.

2. Kiến thức và kỹ năng

Để giải được bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Đạo hàm của hàm số: Hiểu khái niệm đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm (đạo hàm của hàm số cộng, trừ, nhân, chia, hàm hợp). Cực trị của hàm số: Khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, quy tắc tìm cực trị của hàm số (dựa trên đạo hàm). Ứng dụng của đạo hàm: Áp dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hoặc một đoạn. Giải bài toán thực tế: Vận dụng kiến thức về đạo hàm và cực trị để giải quyết bài toán tối ưu hóa. Kỹ năng phân tích bài toán: Phân tích đề bài, xác định các đại lượng cần tìm và các mối quan hệ giữa chúng. Kỹ năng lập luận: Lập luận chặt chẽ để đưa ra kết luận đúng. 3. Phương pháp tiếp cận

Bài học sẽ được tổ chức theo các bước sau:

1. Phân tích đề bài: Xác định rõ yêu cầu của bài toán, các đại lượng cần tìm, các mối quan hệ giữa chúng.
2. Lập hàm số mục tiêu: Dựa trên thông tin đề bài, xây dựng hàm số mô tả đại lượng cần tối ưu hóa.
3. Tính đạo hàm của hàm số: Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số mục tiêu.
4. Tìm các điểm tới hạn: Tìm các điểm làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
5. Xác định cực trị: Sử dụng các phương pháp xác định cực trị (ví dụ: bảng biến thiên) để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số.
6. Kết luận: Trình bày kết quả tìm được và giải thích rõ ràng tại sao đó là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
7. Bài tập ví dụ: Thực hành giải các bài tập tương tự.

4. Ứng dụng thực tế

Kiến thức trong bài học có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực thực tế, ví dụ như:

Thiết kế: Tối ưu hóa hình dạng, kích thước để tiết kiệm vật liệu hoặc chi phí sản xuất. Kỹ thuật: Tối ưu hóa quá trình sản xuất để giảm chi phí hoặc tăng hiệu suất. Quản lý: Tối ưu hóa nguồn lực để đạt hiệu quả cao nhất. Kinh tế: Tối ưu hóa lợi nhuận, chi phí. 5. Kết nối với chương trình học

Bài học này là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12, liên kết với các bài học trước về đạo hàm, cực trị của hàm số. Nắm vững bài học này sẽ giúp học sinh chuẩn bị tốt cho các bài học tiếp theo, đặc biệt là các bài toán vận dụng thực tế.

6. Hướng dẫn học tập

Để học tập hiệu quả, học sinh nên:

Đọc kỹ đề bài: Hiểu rõ yêu cầu của bài toán. Vẽ hình nếu cần: Giúp hình dung rõ ràng các mối quan hệ. Lập bảng biến thiên: Giúp xác định cực trị của hàm số. Kiểm tra lại kết quả: Đảm bảo kết quả tìm được hợp lý. Làm nhiều bài tập: Thực hành giải các bài tập tương tự để nắm vững kiến thức. Hỏi thầy cô giáo nếu gặp khó khăn: Nhận được sự hỗ trợ từ giáo viên để hiểu rõ hơn. Tiêu đề Meta: Giải bài tập 1.22 Toán 12 Mô tả Meta: Bài học hướng dẫn chi tiết cách giải bài tập 1.22 trang 34 SGK Toán 12 tập 1, chủ đề "Cùng khám phá". Học sinh sẽ học cách vận dụng kiến thức đạo hàm, cực trị để giải bài toán tối ưu hóa. Keywords: 1. Giải bài tập 1.22 2. Toán 12 3. Đạo hàm 4. Cực trị 5. Hàm số 6. Tối ưu hóa 7. SGK Toán 12 8. Bài tập Toán 12 9. Cùng khám phá 10. Phương pháp giải 11. Ứng dụng đạo hàm 12. Giá trị lớn nhất 13. Giá trị nhỏ nhất 14. Bảng biến thiên 15. Điểm tới hạn 16. Quy tắc tìm cực trị 17. Bài tập thực tế 18. Toán học lớp 12 19. Giải toán 20. Học Toán 12 21. SGK 22. Bài tập 1.22 trang 34 23. Tập 1 24. Toán lớp 12 25. Kiến thức Toán 12 26. Bài tập tối ưu hóa 27. Phương pháp phân tích 28. Lập luận 29. Kỹ năng giải toán 30. Bài tập vận dụng 31. Bài tập tương tự 32. Hàm số bậc hai 33. Hàm số bậc ba 34. Hàm số bậc bốn 35. Đạo hàm cấp cao 36. Phương trình đạo hàm 37. Phương trình vi phân 38. Toán học ứng dụng 39. Giáo trình Toán 12 40. Học tốt Toán 12

đề bài

khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:

a) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\)

b) \({\rm{y}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}\)

c)\(y = - x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}\)

d)\(y = \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}\)

phương pháp giải - xem chi tiết

- tìm tập xác định của hàm số

- xét sự biến thiên của hàm số

- vẽ đồ thị hàm số

lời giải chi tiết

- tập xác định: d = r \ {-1}.

- sự biến thiên:

giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{{{(x + 1)}^2} + 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left[ {x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty \)

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left[ {x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty \]

suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x + 1) + 0 = \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x + 1) + 0 = - \infty \)

suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

\(\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}\)

khi \(x \to \pm \infty ,\frac{1}{{x + 1}} \to 0\) nên \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên của hàm số

ta có: \({y^\prime } = \frac{{(2x + 2)(x + 1) - \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)

\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow {x^2} + 2x \leftrightarrow x(x + 2) = 0 \leftrightarrow x = 0,{\rm{ }}x = - 2\)

bảng biến thiên:

chiều biến thiên: hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞,-2) và (-1,0), đồng biến trên khoảng (-2,-1) và (-1,0).

cực trị: hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{ct}} = 2\)

hàm số đạt cực đại tại \(x = - 2,{y_{cd}} = - 2\)

- vẽ đồ thị:

tiệm cận đứng \({\rm{x}} = - 1\), tiệm cận xiên \(y = x + 1\)

giao điểm với trục oy là \((0,2)\)

- tập xác định: d = r \ {2}.

- sự biến thiên:

giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \)

suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = - \infty \)

suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

\(\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = x + \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\)

_khi\(x \to \pm \infty ,\frac{{ - 3}}{{x - 2}} \to 0\)_nên\(y = x\)_{là tiệm cận xiên của hàm số}

_{ta có:}\({y^\prime } = \frac{{(2x - 2)(x - 2) - \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 7}}{{{{(x - 2)}^2}}} > 0\forall x \in d\)

vậy hàm số đồng biến trên tập xác định

bảng biến thiên:

chiều biến thiên: hàm số đồng biến trên khoảng (-\(\infty ,2\)) và (2, \(\infty \)).

cực trị: hàm số không có cực trị

- vẽ đồ thị:

tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x.

giao điểm với trục oy là (0,\(\frac{3}{2}\))

giao điểm với trục ox là (-1,0) và (3,0)

- tập xác định: d = r \ {-1}.

- sự biến thiên:

giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) = \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) = - \infty \)

suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) = \infty \)

suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

_khi\(x \to \pm \infty ,\frac{1}{{x + 1}} \to 0\)_nên\(y = - x - 1\)_{là tiệm cận xiên của hàm số}

_{ta có:}\({y^\prime } = - 1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} < 0\forall x \in d\)

vậy hàm số nghịch biến trên tập xác định

bảng biến thiên:

chiều biến thiên: hàm số nghịch biến trên khoảng (-\(\infty \),-1).và (-1, \(\infty \)).

cực trị: hàm số không có cực trị

- vẽ đồ thị:

tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận xiên y =- x-1.

đi qua gốc toạ độ o(0,0) và giao với trục hoành tại điểm (-2,0)

- tập xác định: d = r \ {1}.

- sự biến thiên:

giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{(2x + 1)(x - 1) + 2}}{{1 - x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - 2x - 1 + \frac{2}{{1 - x}}} \right) = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = \infty \)

suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = \infty \)

suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

_khi\(x \to \pm \infty ,\frac{2}{{1 - x}} \to 0\)_nên\(y = - 2x - 1\)_{là tiệm cận xiên của hàm số}

_{ta có:}\({y^\prime } = \frac{{(4x - 1)(1 - x) + (2{x^2} - x + 1)}}{{{{(1 - x)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 4x}}{{{{(1 - x)}^2}}}\)

\(y' = 0 \leftrightarrow - 2{x^2} + 4x = 0 \leftrightarrow x = 0,x = 2\)

bảng biến thiên: