[SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá] Giải bài tập 4.27 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Bài học này tập trung vào việc giải quyết bài tập 4.27 trang 36 trong Sách giáo khoa Toán 12 tập 2, chủ đề "Cùng khám phá". Mục tiêu chính là giúp học sinh nắm vững các phương pháp giải bài toán liên quan đến hàm số logarit, cụ thể là tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng xác định. Bài học sẽ hướng dẫn chi tiết từng bước giải, từ việc xác định miền xác định của hàm số đến việc tìm cực trị và xét giá trị tại các điểm biên.
2. Kiến thức và kỹ năng Hiểu rõ định nghĩa hàm số logarit: Học sinh cần nắm vững định nghĩa, tính chất và đồ thị của hàm số logarit. Vận dụng đạo hàm để tìm cực trị: Bài học sẽ giúp học sinh áp dụng kiến thức về đạo hàm để tìm cực trị của hàm số. Xác định miền xác định của hàm số: Học sinh sẽ học cách tìm miền xác định của hàm số logarit, điều kiện để hàm số có nghĩa. Áp dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: Học sinh sẽ được hướng dẫn cách áp dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng. Vận dụng kiến thức về bất đẳng thức: Một số trường hợp bài toán đòi hỏi việc sử dụng kiến thức về bất đẳng thức để giải quyết. Kỹ năng giải quyết vấn đề: Bài học giúp học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích, suy luận và giải quyết vấn đề liên quan đến hàm số logarit. 3. Phương pháp tiếp cậnBài học sẽ sử dụng phương pháp hướng dẫn chi tiết, kết hợp lý thuyết với thực hành. Đầu tiên, bài học sẽ ôn lại các kiến thức cơ bản về hàm số logarit và đạo hàm. Sau đó, sẽ phân tích từng bước giải bài tập 4.27, cụ thể hóa các bước như:
1. Xác định miền xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm của hàm số.
3. Tìm các điểm cực trị.
4. Xét giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị.
5. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Bài học sẽ kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tương tự để học sinh tự luyện tập.
4. Ứng dụng thực tếKiến thức về hàm số logarit và việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, ví dụ như:
Kinh tế: Tìm mức sản xuất tối ưu, dự báo doanh thu. Khoa học: Mô hình hóa các quá trình tăng trưởng, suy giảm. Công nghệ: Thiết kế các hệ thống tối ưu. 5. Kết nối với chương trình họcBài học này là một phần của chương trình Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về hàm số và đạo hàm vào việc giải quyết bài toán tìm cực trị. Bài học này liên kết với các bài học trước về hàm số mũ và logarit, đồng thời chuẩn bị cho các bài học về ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán tối ưu hóa trong tương lai.
6. Hướng dẫn học tập Đọc kỹ bài giải:
Hiểu rõ từng bước giải của bài tập 4.27.
Làm lại bài tập:
Thử làm lại bài tập 4.27 bằng cách mình và tham khảo lời giải nếu cần.
Giải các bài tập tương tự:
Tìm thêm các bài tập tương tự trong sách giáo khoa hoặc tài liệu tham khảo để luyện tập.
Hỏi đáp với giáo viên:
Nếu gặp khó khăn, hãy hỏi giáo viên để được hướng dẫn và giải đáp thắc mắc.
Làm việc nhóm:
Thảo luận với bạn bè trong nhóm để cùng nhau giải quyết bài tập.
Đề bài
Tính các tích phân sau:
a) \(\int_0^1 {(3x + 1)} (x + 3){\mkern 1mu} dx\)
b) \(\int_{ - 5}^0 {({3^{x + 1}} - 2{e^x})} {\mkern 1mu} dx\)
c) \(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)
d) \(\int_1^2 {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các công thức cơ bản về tích phân:
- \(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\)
- \(\int {{e^x}} dx = {e^x}\);
- \(\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\)
- Các phép nhân đa thức, các hàm mũ, và lượng giác có thể cần sử dụng các phương pháp đơn giản hóa.
Lời giải chi tiết
a)
\(\int_0^1 {(3x + 1)} (x + 3){\mkern 1mu} dx = \int_0^1 {(3{x^2} + 10x + 3)} {\mkern 1mu} dx\)
Tính từng tích phân:
\(\int 3 {x^2}{\mkern 1mu} dx = {x^3},\quad \int 1 0x{\mkern 1mu} dx = 5{x^2},\quad \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x\)
Vậy tích phân là:
\(\left[ {{x^3} + 5{x^2} + 3x} \right]_0^1 = 9\)
b)
\(\int_{ - 5}^0 {({3^{x + 1}} - 2{e^x})} {\mkern 1mu} dx\)
Tính từng tích phân:
\(\int {{3^{x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^{x + 1}}}}{{\ln 3}}\)
\(\int 2 {e^x}{\mkern 1mu} dx = 2{e^x}\)
Tích phân là:
\(\left[ {\frac{{{3^{x + 1}}}}{{\ln 3}} - 2{e^x}} \right]_{ - 5}^0 = \left( {\frac{{{3^1}}}{{\ln 3}} - 2{e^0}} \right) - \left( {\frac{{{3^{ - 4}}}}{{\ln 3}} - 2{e^{ - 5}}} \right)\)
c)
\(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)
Đầu tiên, ta sử dụng các công thức lượng giác để đơn giản hóa biểu thức:
\(\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{{(2{{\cos }^2}x - 1)}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\)
Ta tách thành hai phần:
\(I = 2\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx - \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)
\(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = \left[ { - \cot x} \right]_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \sqrt 3 = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)
\(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} dx = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}} dx = 4.\left[ { - \frac{1}{2}\cot 2x} \right]_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} = 4.\frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\)
Cuối cùng, kết quả của tích phân là:
\(I = 0\)
d)
\(\int_1^2 {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx\)
Sử dụng tích phân của hàm mũ:
\(\int {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx = \frac{1}{3}\int {({6^x})} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{6^x}}}{{3\ln 6}}\)
Tính tích phân:
\(\left[ {\frac{{{6^x}}}{{3\ln 6}}} \right]_1^2 = \frac{{{6^2}}}{{3\ln 6}} - \frac{6}{{3\ln 6}} = \frac{{12}}{{\ln 3}} - \frac{2}{{\ln 6}} = \frac{{10}}{{\ln 6}}\)
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 12
Môn Toán học Lớp 12
Môn Vật lí Lớp 12
Môn Sinh học Lớp 12
Môn Hóa học Lớp 12
Môn Lịch sử Lớp 12
Môn Tiếng Anh Lớp 12
Lời giải và bài tập Lớp 12 đang được quan tâm
