[SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá] Giải mục 1 trang 11, 12, 13, 14 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Bài học này tập trung vào việc giải quyết các bài toán thuộc mục 1 của chương trình Toán 12 tập 2, bao gồm các bài tập trên các trang 11, 12, 13, và 14 của sách giáo khoa. Mục tiêu chính là giúp học sinh nắm vững các phương pháp giải toán, từ việc vận dụng các kiến thức đã học ở các chương trước đến việc tìm ra các cách tiếp cận hiệu quả cho từng dạng bài. Bài học sẽ tập trung vào việc phân tích, minh họa, và hướng dẫn các bước giải chi tiết, giúp học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
2. Kiến thức và kỹ năngHọc sinh sẽ được củng cố và nâng cao các kiến thức về:
Các phương pháp giải toán về: hàm số, phương trình, bất phương trình, ứng dụng đạo hàm, nguyên hàm, tích phân, hình học giải tích trong không gian. Các kỹ năng: phân tích bài toán, lựa chọn phương pháp giải phù hợp, trình bày lời giải một cách logic và chính xác, sử dụng công thức và định lý một cách linh hoạt. Hiểu rõ: các khái niệm và quy tắc của các chủ đề liên quan. Vận dụng: các kiến thức, kỹ năng đã học vào việc giải quyết các bài toán cụ thể. 3. Phương pháp tiếp cậnBài học sẽ sử dụng phương pháp kết hợp giữa lý thuyết và thực hành.
Phân tích: Bài học sẽ phân tích kỹ từng bài tập, chỉ ra các bước giải cụ thể, và các công thức cần thiết. Minh họa: Sử dụng các ví dụ cụ thể để giúp học sinh hình dung rõ hơn về quá trình giải bài toán. Thảo luận: Bài học khuyến khích học sinh thảo luận và trao đổi ý kiến để cùng nhau tìm ra phương pháp giải tối ưu. Hướng dẫn: Cung cấp các hướng dẫn chi tiết về cách giải từng bước, giúp học sinh có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự. Bài tập thực hành: Học sinh sẽ được thực hành giải các bài tập tương tự để củng cố kiến thức và kỹ năng. 4. Ứng dụng thực tếCác kiến thức và kỹ năng được học trong bài có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Thiết kế kỹ thuật:
Xác định hàm số mô tả sự thay đổi của một đại lượng theo thời gian.
Kinh tế:
Phân tích sự thay đổi của doanh thu, chi phí, lợi nhuận.
Khoa học tự nhiên:
Mô tả sự thay đổi của các quá trình vật lý, hóa học.
Bài học này là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12 tập 2. Nó liên kết với các bài học trước về hàm số, đạo hàm, tích phân, hình học giải tích trong không gian. Kiến thức trong bài học này sẽ là nền tảng cho việc học các bài học tiếp theo, giúp học sinh có cái nhìn tổng quan và sâu sắc hơn về ứng dụng của các khái niệm toán học.
6. Hướng dẫn học tập Đọc kỹ bài: Đọc kĩ các phần lý thuyết và ví dụ trong sách giáo khoa. Ghi chép: Ghi lại các công thức, định lý, và phương pháp giải quan trọng. Thực hành: Thực hành giải các bài tập trong sách giáo khoa và các bài tập tương tự. Tìm hiểu thêm: Tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo khác nếu cần thiết. Hỏi đáp: Hỏi giáo viên nếu có thắc mắc. Làm việc nhóm: Làm việc nhóm để trao đổi ý kiến và cùng nhau giải quyết bài toán. Kiểm tra lại: Kiểm tra lại kết quả bài giải của mình để nhận biết lỗi sai và khắc phục. Xem lại các bài học trước: Nắm vững các kiến thức nền tảng liên quan. Tiêu đề Meta (tối đa 60 ký tự): Giải Toán 12 Tập 2 - Mục 1 Trang 11-14 Mô tả Meta (khoảng 150-160 ký tự): Hướng dẫn chi tiết giải mục 1 trang 11-14 SGK Toán 12 tập 2. Củng cố kiến thức về hàm số, phương trình, bất phương trình, ứng dụng đạo hàm, nguyên hàm, tích phân, hình học giải tích. Phương pháp giải bài tập chi tiết, kèm ví dụ minh họa. Download file ngay! Keywords (40 từ khóa): Giải Toán 12, SGK Toán 12 tập 2, Mục 1, Trang 11, 12, 13, 14, Hàm số, Phương trình, Bất phương trình, Đạo hàm, Nguyên hàm, Tích phân, Hình học giải tích, Không gian, Phương pháp giải, Ví dụ, Bài tập, Toán học, Học sinh, Lớp 12, Kiến thức, Kỹ năng, Thực hành, Ứng dụng, Download, File, Tài liệu, Học tập, Củng cố, Nâng cao, Giải bài tập, Hướng dẫn, Minh họa, Thảo luận, Làm việc nhóm, Kiểm tra, Chương trình, Kết nối, Nền tảng.hđ1
trả lời câu hỏi hoạt động 1 trang 11 sgk toán 12 cùng khám phá
một vật chuyển động thẳng trong 10 giây với vận tốc \(v(t) = 3t + 2\) (m/s). gọi \(s(t)\) là quãng đường vật đi được đến thời điểm \(t\) giây (0 < t < 10). xét chuyển động của vật từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
a) giải thích ý nghĩa của đại lượng \(l = s(5) - s(3)\).
b) gọi \(f(t)\) là một nguyên hàm bất kì của \(v(t)\). so sánh \(l\) và \(f(5) - f(3)\).
phương pháp giải:
a) đại lượng \(l = s(5) - s(3)\) biểu diễn quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
b) ta cần tìm nguyên hàm của hàm vận tốc \(v(t)\) để tìm hàm quãng đường \(s(t)\). so sánh \(l\) với hiệu của giá trị nguyên hàm tại \(t = 5\) và \(t = 3\).
lời giải chi tiết:
a) \(l = s(5) - s(3)\) là quãng đường mà vật đã đi được từ thời điểm \(t = 3\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây.
b) ta biết rằng \(s(t)\) là một nguyên hàm của \(v(t) = 3t + 2\). tính nguyên hàm của \(v(t)\):
\(f(t) = \int {(3t + 2)} {\mkern 1mu} dt = \frac{{3{t^2}}}{2} + 2t + c\)
do đó:
\(f(5) - f(3) = \left( {\frac{{3{{(5)}^2}}}{2} + 2(5) + c} \right) - \left( {\frac{{3{{(3)}^2}}}{2} + 2(3) + c} \right)\)
\( = \left( {\frac{{75}}{2} + 10} \right) - \left( {\frac{{27}}{2} + 6} \right)\)
\( = \frac{{75 + 20}}{2} - \frac{{27 + 12}}{2} = \frac{{95}}{2} - \frac{{39}}{2} = \frac{{56}}{2} = 28{\rm{ (m)}}\)
do đó, \(l = f(5) - f(3)\), tức là quãng đường \(s(5) - s(3)\) chính là hiệu của hai giá trị nguyên hàm tại hai thời điểm tương ứng.
hđ2
trả lời câu hỏi hoạt động 2 trang 11 sgk toán 12 cùng khám phá
gọi \((h)\) là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng \(y = 2x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = t\) (1 ≤ t ≤ 4) (hình 4.3a).
a) tính diện tích \(s\) của hình \((h)\) khi \(t = 4\) (hình 4.3b).
b) tìm hàm số \(s(t)\) biểu thị diện tích của hình \((h)\) với \(t \in [1;4]\).
c) chứng minh \(s(t)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 2t + 1\) trên đoạn [1; 4] và \(s = s(4) - s(1)\).
phương pháp giải:
a) tính diện tích hình thang vuông bằng công thức trung bình cộng 2 cạnh đáy nhân với chiều cao giữa 2 đáy, tuy nhiên chiều cao ở đây chính là cạnh bên vuông góc với cả 2 đáy. trong trường hợp này thì độ dài chiều cao sẽ là khoảng cách từ \({x_1}\) đến \({x_2}\) và độ dài hai cạnh đáy sẽ là giá trị của \(y\) tại hai điểm \({x_1}\) và \({x_2}\).
b) xét diện tích hình thang tổng quát khi \(t\) thay đổi, tìm hàm số diện tích \(s(t)\).
c) chứng minh bằng cách lấy đạo hàm của hàm số \(s(t)\) và so sánh với \(f(t)\).
lời giải chi tiết:
a) khi \(t = 4\), diện tích của hình thang vuông \((h)\) là:
\(s = \frac{1}{2} \times ({y_1} + {y_2}) \times ({x_2} - {x_1})\)
trong đó: \({y_1} = 2(1) + 1 = 3\) \({y_2} = 2(4) + 1 = 9\) \({x_1} = 1\), \({x_2} = 4\).
do đó:
\(s = \frac{1}{2} \times (3 + 9) \times (4 - 1) = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18\) (đơn vị diện tích)
b) diện tích hình thang tổng quát khi \(t\) thay đổi từ 1 đến 4:
\(s(t) = \frac{1}{2} \times ({y_1} + y(t)) \times (t - 1)\)
trong đó: \({y_1} = 3\) \(y(t) = 2t + 1\) \({x_1} = 1\), \({x_2} = t\) do đó:
\(s(t) = \frac{1}{2} \times (3 + 2t + 1) \times (t - 1) = \frac{1}{2}s(t) = \frac{1}{2} \times (2t + 4) \times (t - 1)\)
\(s(t) = (t + 2) \times (t - 1) = {t^2} - t + 2t - 2 = {t^2} + t - 2\)
c) chứng minh \(s(t)\) là nguyên hàm của hàm \(f(t) = 2t + 1\):
\(s(t) = {t^2} + t - 2\)
lấy đạo hàm của \(s(t)\):
\(s'(t) = 2t + 1 = f(t)\)
do đó, \(s(t)\) là nguyên hàm của \(f(t) = 2t + 1\). cuối cùng, diện tích \(s = s(4) - s(1)\) được tính như sau:
\(s(4) = {4^2} + 4 - 2 = 16 + 4 - 2 = 18\)
\(s(1) = {1^2} + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0\)
\(s = 18 - 0 = 18\) (đơn vị diện tích).
hđ3
trả lời câu hỏi hoạt động 3 trang 13 sgk toán 12 cùng khám phá
cho hàm số \(f(x) = 2x\).
a) tìm các hàm số \(f(x),g(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a;b].\)
b) so sánh \(f(b) - f(a)\) và \(g(b) - g(a)\).
phương pháp giải:
a)
- nguyên hàm của một hàm số \(f(x)\) là một hàm số \(f(x)\) sao cho \(f'(x) = f(x)\).
- để tìm nguyên hàm của \(f(x)\), ta thực hiện việc tích phân \(f(x)\) theo \(x\).
b)
- hai nguyên hàm của cùng một hàm số \(f(x)\) chỉ khác nhau một hằng số, nghĩa là nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) đều là nguyên hàm của \(f(x)\), thì \(f(x) = g(x) + c\) với \(c\) là một hằng số. từ đó, tính hiệu \(f(b) - f(a)\) và \(g(b) - g(a)\) để so sánh.
lời giải chi tiết:
a) xét hàm số \(f(x) = 2x\). nguyên hàm của \(f(x)\) được tính bằng cách tích phân:
\(f(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx\)
áp dụng công thức tích phân:
\(f(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {c_1}\)
trong đó, \({c_1}\) là hằng số tích phân. tương tự, ta có thể tìm một nguyên hàm khác của \(f(x)\):
\(g(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {c_2}\)
trong đó, \({c_2}\) là một hằng số khác. như vậy, hai nguyên hàm của \(f(x)\) có dạng:
\(f(x) = {x^2} + {c_1}\)
\(g(x) = {x^2} + {c_2}\)
b)
ta có:
\(f(b) - f(a) = \left( {{x^2} + {c_1}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {c_1}) - ({a^2} + {c_1}) = {b^2} - {a^2}\)
và:
\(g(b) - g(a) = \left( {{x^2} + {c_2}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {c_2}) - ({a^2} + {c_2}) = {b^2} - {a^2}\)
từ đây, dễ thấy rằng:
\(f(b) - f(a) = g(b) - g(a) = {b^2} - {a^2}\)
kết luận: mặc dù \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm khác nhau, nhưng hiệu \(f(b) - f(a)\) và \(g(b) - g(a)\) luôn bằng nhau, và đều bằng \({b^2} - {a^2}\).
lt1
trả lời câu hỏi luyện tập 1 trang 14 sgk toán 12 cùng khám phá
tính
a) \(\int\limits_1^3 {{x^3}dx;} \)
b) \(\int\limits_0^\pi {\cos udu.} \)
phương pháp giải:
- tìm nguyên hàm của hai hàm số.
- áp dụng công thức của tích phân xác định:
\(\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = f(b) - f(a)\)
trong đó, \(f(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\).
lời giải chi tiết:
a)
tìm nguyên hàm của \({x^3}\):
\(\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + c\)
do đó, nguyên hàm của \(f(x) = {x^3}\) là \(f(x) = \frac{{{x^4}}}{4}\). áp dụng công thức tính tích phân xác định:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_1^3\)
thay giá trị \(x = 3\) và \(x = 1\) vào nguyên hàm:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^4}}}{4} - \frac{{{1^4}}}{4} = \frac{{81}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{{80}}{4} = 20\)
kết quả:
\(\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = 20\)
b)
tìm nguyên hàm của \(\cos u\):
\(\int {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin u + c\)
do đó, nguyên hàm của \(f(u) = \cos u\) là \(f(u) = \sin u\). áp dụng công thức tính tích phân xác định:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = \left[ {\sin u} \right]_0^\pi \)
thay giá trị \(u = \pi \) và \(u = 0\) vào nguyên hàm:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin (\pi ) - \sin (0) = 0 - 0 = 0\)
kết quả:
\(\int\limits_0^\pi {\cos } u{\mkern 1mu} du = 0\).
lt2
trả lời câu hỏi luyện tập 2 trang 14 sgk toán 12 cùng khám phá
cho \(f(x)\) là một nguyên hàm của hàm \(f(x) = {2^x}\) và \(f(0) = 0\). tính \(f(1)\).
phương pháp giải:
- tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\):
- áp dụng công thức của tích phân xác định để tìm \(f(1)\)
\(\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = f(b) - f(a)\)
trong đó, \(f(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\).
lời giải chi tiết:
tìm nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\):
\(f(x) = \int {{2^x}} {\mkern 1mu} dx\)
sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ, ta có:
\(f(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + c\)
áp dụng công thức tính tích phân xác định, ta có:
\(\int\limits_0^1 f (x){\mkern 1mu} dx = f(1) - f(0)\)
suy ra:
\(f(1) = \int\limits_0^1 {f(x)} + f(0) = \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} + 0 = \frac{1}{{\ln 2}}\)
vd1
trả lời câu hỏi vận dụng 1 trang 14 sgk toán 12 cùng khám phá
tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và các đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\). (hình 4.6).
phương pháp giải:
- thiết lập tích phân để tính diện tích hình thang cong:
\(s = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx\)
- tính tích phân xác định từ 1 đến 4 của hàm \(\sqrt x \).
lời giải chi tiết:
thiết lập tích phân:
\(s = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = \int_1^4 {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx\)
tính tích phân:
\(\int {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{3/2}}}}{{3/2}} + c = \frac{2}{3}{x^{3/2}} + c\)
do đó, diện tích cần tìm là:
\(s = \left[ {\frac{2}{3}{x^{3/2}}} \right]_1^4 = \frac{2}{3}\left[ {{4^{3/2}} - {1^{3/2}}} \right]\)
tính giá trị cụ thể:
\({4^{3/2}} = {({2^2})^{3/2}} = {2^3} = 8\)
\(s = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{2}{3} \times 7 = \frac{{14}}{3}\)
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 12
Môn Toán học Lớp 12
Môn Vật lí Lớp 12
Môn Sinh học Lớp 12
Môn Hóa học Lớp 12
Môn Lịch sử Lớp 12
Môn Tiếng Anh Lớp 12
Lời giải và bài tập Lớp 12 đang được quan tâm
