Bài viết trình bày lý thuyết và ví dụ minh họa có lời giải chi tiết các dạng toán xác định tập hợp và phép toán trên tập hợp.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tập hợp
• Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.
• Cách xác định tập hợp:
+ Liệt kê các phần tử: Viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc $\left\{ {…} \right\}$.
+ Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp.
• Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu $\emptyset .$
2. Tập hợp con
$A \subset B$ $ \Leftrightarrow \left( {\forall x \in A \Rightarrow x \in B} \right).$
Các tính chất:
• $A \subset A,\forall A .$
• $\emptyset \subset A,\forall A .$
• $A \subset B,B \subset C$ $ \Rightarrow A \subset C .$
3. Tập hợp bằng nhau
$A = B$ $ \Leftrightarrow (A \subset B$ và $B \subset A)$ $ \Leftrightarrow \left( {\forall x,x \in A \Leftrightarrow x \in B} \right) .$
4. Một số tập con của tập hợp số thực
5. Các phép toán tập hợp
• Giao của hai tập hợp: $A \cap B$ $ \Leftrightarrow \left\{ {x|x \in A} \right.$ và $\left. {x \in B} \right\} .$
• Hợp của hai tập hợp: $A \cap B$ $ \Leftrightarrow \left\{ {x|x \in A} \right.$ hoặc $\left. {x \in B} \right\} .$
• Hiệu của hai tập hợp: $A\backslash B$ $ \Leftrightarrow \left\{ {x|x \in A} \right.$ và $\left. {x \notin B} \right\} .$
Phần bù: Cho $B \subset A$ thì ${C_A}B = A\backslash B .$
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng:
$A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}$
$B = \left\{ {0;4;8;12;16} \right\}$
$C = \left\{ {1;2;4;8;16} \right\}$
Ta có các tập hợp $A,B,C$ được viết dưới dạng nêu các tính chất đặc trưng là:
$A = \left\{ {x \in N|x \le 4} \right\}$
$B = \{ x \in N| x \vdots 4$ và $\left. {x \le 16} \right\}$
$C = \left\{ {{2^n}| n \le 4} \right.$ và $\left. {n \in N} \right\}$
Ví dụ 2: Cho tập hợp $A = \left\{ {x \in {\rm Z}|\frac{{{x^2} + 2}}{x} \in {\rm Z}} \right\}.$
a. Hãy xác định tập $A$ bằng cách liệt kê các phần tử.
b. Tìm tất cả các tập con của tập hợp $A$ mà số phần tử của nó nhỏ hơn $3.$
a. Ta có $\frac{{{x^2} + 2}}{x} = x + \frac{2}{x} \in {\rm Z}$ với $x \in {\rm Z}$ khi và chỉ khi $x$ là ước của $2$ hay $x \in \left\{ { – 2; – 1;1;2} \right\}.$
Vậy $A = \left\{ { – 2; – 1;1;2} \right\}.$
b. Tất cả các tập con của tập hợp $A$ mà số phần tử của nó nhỏ hơn $3$ là:
Tập không có phần tử nào: $\emptyset .$
Tập có một phần tử: $\left\{ { – 2} \right\}, \left\{ { – 1} \right\}, \left\{ 1 \right\}, \left\{ 2 \right\}.$
Tập có hai phần tử: $\left\{ { – 2; – 1} \right\}, \left\{ { – 2;1} \right\},$ $\left\{ { – 2;2} \right\}, \left\{ { – 1;1} \right\},$ $\left\{ { – 1;2} \right\}, \left\{ {1;2} \right\} .$
[ads]
Ví dụ 3: Cho $A = \left\{ { – 4; – 2; – 1;2;3;4} \right\}$ và $B = \left\{ {x \in {\rm Z}|\left| x \right| \le 4} \right\}$. Tìm tập hợp $X$ sao cho:
a. $X \subset B\backslash A.$
b. $A \subset X \subset B .$
c. $A \cup X = B$ với $X$ có đúng $4$ phần tử.
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left| x \right| \le 4}\\
{x \in {\rm Z}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 4 \le x \le 4}\\
{x \in {\rm Z}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x \in \left\{ { – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4} \right\}.$
Suy ra $B = \left\{ { – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4} \right\}.$
a. Ta có $B\backslash A = \left\{ { – 3;0;1} \right\}.$
Suy ra $X \subset B\backslash A$ thì các tập hợp $X$ là: $\emptyset ,\left\{ { – 3} \right\},\left\{ 0 \right\},\left\{ 1 \right\},\left\{ { – 3;0} \right\},$ $\left\{ { – 3;1} \right\},\left\{ {0;1} \right\},\left\{ { – 3;0;1} \right\} .$
b. Ta có $\left\{ { – 4; – 2; – 1;2;3;4} \right\}$ $ \subset X \subset $ $\left\{ { – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4} \right\}$ suy ra tập hợp $X$ là:
$\left\{ { – 4; – 2; – 1;2;3;4} \right\}$, $\left\{ { – 4; – 2; – 3; – 1;2;3;4} \right\}$, $\left\{ { – 4; – 2; – 1;0;2;3;4} \right\}$, $\left\{ { – 4; – 2; – 1;1;2;3;4} \right\}$, $\left\{ { – 4; – 2; – 3; – 1;0;2;3;4} \right\}$, $\left\{ { – 4; – 2; – 3; – 1;1;2;3;4} \right\}$, $\left\{ { – 4; – 2; – 1;0;1;2;3;4} \right\}$, $\left\{ { – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4} \right\} .$
c. Ta có $A \cup X = B$ với $X$ có đúng $4$ phần tử khi đó tập hợp $X$ là: $\left\{ { – 4; – 3;0;1} \right\}$, $\left\{ { – 3; – 2;0;1} \right\}$, $\left\{ { – 3; – 1;0;1} \right\}$, $\left\{ { – 3;0;1;2} \right\}$ $\left\{ { – 3;0;1;3} \right\}$, $\left\{ { – 3;0;1;4} \right\} .$
Ví dụ 4: Cho các tập hợp:
$A = $ $\left\{ {x \in R|\left( {{x^2} + 7x + 6} \right)\left( {{x^2} – 4} \right) = 0} \right\}$
$B = \left\{ {x \in N|2x \le 8} \right\}$
a. Hãy viết lại các tập hợp $A, B, C$ dưới dạng liệt kê các phần tử.
b. Tìm $A \cup B$, $A \cap B$, $B\backslash C$, ${C_{A \cup B}}\left( {B\backslash C} \right) .$
c. Tìm $(A \cup C)\backslash B.$
a. Ta có: $\left( {{x^2} + 7x + 6} \right)\left( {{x^2} – 4} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 7x + 6 = 0\\
{x^2} – 4 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 1\\
x = – 6
\end{array} \right.$ hoặc $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 2}\\
{x = 2}
\end{array}} \right.$
Vậy $A = \left\{ { – 6; – 2; – 1;2} \right\} .$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
x \in N\\
2x \le 8
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \in N\\
x \le 4
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x \in \left\{ {0,1,2,3,4} \right\} .$
Vậy $B = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}.$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
x \in Z\\
– 2 \le x \le 4
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x \in \left\{ { – 2, – 1,0,1,2,3,4} \right\} .$
Suy ra $C = \left\{ { – 3; – 1;1;3;5;7;9} \right\} .$
b. Ta có:
$A \cup B = \left\{ { – 6; – 2; – 1;0;1;2;3;4} \right\}.$
$A \cap B = \left\{ 2 \right\} .$
$B\backslash C = \left\{ {0;2;4} \right\}.$
${C_{A \cup B}}\left( {B\backslash C} \right) = \left( {A \cup B} \right)\backslash \left( {B\backslash C} \right)$ $ = \left\{ { – 6; – 2; – 1;1;3} \right\}.$
c. Ta có: $A \cup C = \left\{ { – 6; – 3; – 2; – 1;1;2;3;5;7;9} \right\}.$
Suy ra $(A \cup C)\backslash B = \left\{ { – 6; – 3; – 2; – 1;5;7;9} \right\}.$
Ví dụ 5: Cho các tập hợp $E = \{ {\rm{ }}x \in N|1 \le x < 7\} $, $A = \{ {\rm{ }}x \in N|$ $\left( {{x^2} – 9} \right)\left( {{x^2}-5x–6} \right) = 0\} $ và $B = {\rm{\{ }}x \in N|x$ là số nguyên tố nhỏ hơn $\left. 6 \right\}.$
a. Chứng minh rằng $A \subset E$ và $B \subset E .$
b. Tìm ${C_E}A$, ${C_E}B$, ${C_E}(A \cup B).$
c. Chứng minh rằng: $E\backslash (A \cap B)$ $ = \left( {E\backslash A} \right) \cup \left( {{\rm{ }}E\backslash B} \right).$
a. Ta có ${\rm{E}} = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}$, $A = \left\{ {3;6} \right\}$ và $B = \left\{ {2;3;5} \right\}.$
Suy ra $A \subset E$ và $B \subset E .$
b. Ta có:
${C_E}A = E\backslash A = \left\{ {1;2;4;5} \right\}.$
${C_E}B = E\backslash B = \left\{ {1;4;6} \right\}.$
$A \cup B = \left\{ {2;3;5;6} \right\}$ $ \Rightarrow {C_E}(A \cup B) = E\backslash \left( {A \cup B} \right) = \left\{ {1;4} \right\}.$
c. Ta có: $A \cap B = \left\{ 3 \right\}$ $ \Rightarrow {C_E}(A \cap B) = E\backslash \left( {A \cap B} \right)$ $ = \left\{ {1;2;4;5;6} \right\}.$
$E\backslash A = \left\{ {1;2;4;5} \right\}$, $E\backslash B = \left\{ {1;4;6} \right\}$ $ \Rightarrow \left( {E\backslash A} \right) \cup \left( {{\rm{ }}E\backslash B} \right) = \left\{ {1;2;4;5;6} \right\}.$
Suy ra $E\backslash (A \cap B) = \left( {E\backslash A} \right) \cup \left( {{\rm{ }}E\backslash B} \right).$
