Chuyên đề học tập Toán Lớp 12 Chân trời sáng tạo

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[Chuyên đề học tập Toán Lớp 12 Chân trời sáng tạo] Giải bài 1 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Giải Bài 1 Trang 20 Chuyên đề Toán 12 - Chân trời sáng tạo Tiêu đề Meta: Giải bài 1 Chuyên đề Toán 12 - Chân trời sáng tạo Mô tả Meta: Học cách giải bài toán tối ưu quan trọng trong Chuyên đề Toán 12. Hướng dẫn chi tiết, ví dụ minh họa, và các kỹ thuật cần thiết để nắm chắc kiến thức. Tải ngay tài liệu giải bài tập! 1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc giải quyết bài tập số 1 trang 20 trong Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo, thuộc Chuyên đề 1: Ứng dụng toán học giải các bài toán tối ưu. Mục tiêu chính là giúp học sinh làm quen với phương pháp giải các bài toán tối ưu, áp dụng các kiến thức về đạo hàm, cực trị để tìm lời giải tối ưu. Bài học sẽ hướng dẫn cách xác định các điều kiện ràng buộc, thiết lập hàm mục tiêu và tìm nghiệm tối ưu của bài toán.

2. Kiến thức và kỹ năng

Học sinh sẽ được củng cố và áp dụng các kiến thức sau:

Đạo hàm: Hiểu rõ khái niệm đạo hàm, đạo hàm cấp một và ứng dụng trong tìm cực trị. Cực trị của hàm số: Xác định các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số và cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng xác định. Phương pháp giải bài toán tối ưu: Biết cách thiết lập hàm mục tiêu, xác định các điều kiện ràng buộc và tìm nghiệm tối ưu. Ứng dụng toán học trong thực tế: Hiểu được ý nghĩa của việc tìm lời giải tối ưu trong các tình huống thực tế. Kỹ năng phân tích và giải quyết vấn đề: Phát triển kỹ năng phân tích đề bài, xác định vấn đề cần giải quyết và tìm ra phương pháp giải phù hợp. 3. Phương pháp tiếp cận
Bài học sẽ được trình bày theo cấu trúc sau:

1. Phân tích đề bài: Phân tích kỹ lưỡng yêu cầu của bài tập, xác định các yếu tố cần thiết để giải quyết bài toán.
2. Thiết lập hàm mục tiêu: Xác định hàm số cần tối ưu hóa và các yếu tố ảnh hưởng đến nó.
3. Xác định điều kiện ràng buộc: Xác định các điều kiện giới hạn trong bài toán.
4. Tìm nghiệm tối ưu: Áp dụng các phương pháp đạo hàm và tìm cực trị để tìm lời giải tối ưu.
5. Kiểm tra và đánh giá: Kiểm tra lại kết quả tìm được và đánh giá tính hợp lý của lời giải.
6. Ứng dụng thực tế: Liên hệ bài toán với các tình huống thực tế để giúp học sinh hiểu rõ hơn về ý nghĩa của việc tìm lời giải tối ưu.
4. Ứng dụng thực tế
Kiến thức về giải bài toán tối ưu có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

Quản lý nguồn lực: Tối ưu hóa việc sử dụng nguồn lực (nhân lực, tài chính, vật liệu) để đạt hiệu quả cao nhất.
Kỹ thuật: Thiết kế các cấu trúc, hệ thống với kích thước tối ưu để tiết kiệm vật liệu hoặc chi phí.
Kinh tế: Tìm ra chiến lược kinh doanh tối ưu hóa lợi nhuận.
Khoa học: Tối ưu hóa các quá trình nghiên cứu khoa học.

5. Kết nối với chương trình học
Bài học này là phần tiếp nối của các bài học về đạo hàm và cực trị, là nền tảng cho việc học các bài toán tối ưu trong các chuyên đề nâng cao. Hiểu rõ bài học này sẽ giúp học sinh chuẩn bị tốt cho các bài tập và đề thi về ứng dụng toán học trong các tình huống phức tạp hơn.
6. Hướng dẫn học tập
Để học tập hiệu quả, học sinh nên:

Đọc kỹ đề bài: Hiểu rõ yêu cầu của bài toán.
Vẽ sơ đồ: Minh họa các yếu tố trong bài toán.
Thiết lập phương trình: Lập hàm số cần tối ưu và các điều kiện ràng buộc.
Áp dụng công thức: Sử dụng các công thức về đạo hàm và cực trị để tìm nghiệm tối ưu.
Kiểm tra lại kết quả: Kiểm tra lại tính hợp lý của lời giải.
Thực hành giải nhiều bài tập: Củng cố kiến thức và kỹ năng.
Tham khảo tài liệu: Sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, ví dụ minh họa.

40 Keywords:

Giải bài tập, bài toán tối ưu, đạo hàm, cực trị, hàm số, điều kiện ràng buộc, phương trình, Toán 12, Chuyên đề, Chân trời sáng tạo, tối ưu hóa, ứng dụng toán học, lời giải, kiến thức, kỹ năng, phương pháp, thực hành, bài tập, sách giáo khoa, tài liệu, quy trình, phân tích, giải quyết vấn đề, ứng dụng thực tế, nghiệm, giá trị, khoảng, chương trình học, bài học, tải tài liệu, hướng dẫn, cách giải, giải đáp.

Lưu ý: Thông tin chi tiết về cách giải bài tập cụ thể sẽ được trình bày trong phần nội dung bài học.

đề bài

người ta muốn xây một đường cống thoát nước có mặt cắt ngang là hình tạo bởi một nửa hình tròn ghép với một hình chữ nhật (hình 6). biết rằng mặt cắt ngang có diện tích 2 m². các kích thước \(x,y\) (đơn vị: m) bằng bao nhiêu để chu vi của mặt cắt ngang là nhỏ nhất? tính chu vi nhỏ nhất đó.

phương pháp giải - xem chi tiết

• tìm mối quan hệ giữa \(x,y\), biểu thị chu vi thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.

• cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:

‒ lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.

‒ căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

lời giải chi tiết

bán kính nửa hình tròn là \(\frac{x}{2}\).

diện tích nửa hình tròn là \(\frac{1}{2}\pi .{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi {x^2}}}{8}\).

diện tích hình chữ nhật là \(xy\).

diện tích mặt cắt ngang là: \(xy + \frac{{\pi {x^2}}}{8}\).

do diện tích mặt cắt ngang bằng 2m2 nên ta có: \(xy + \frac{{\pi {x^2}}}{8} = 2 \rightarrow y = \frac{1}{x}\left( {2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8}} \right)\).

do \(x,y > 0\) nên ta có: \(\frac{1}{x}\left( {2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8}} \right) > 0 \leftrightarrow 2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8} > 0 \leftrightarrow \frac{{\pi {x^2}}}{8} < 2 \leftrightarrow {x^2} < \frac{{16}}{\pi } \leftrightarrow x < \frac{4}{{\sqrt \pi }}\)

chu vi của mặt cắt ngang là:

\(p = \frac{1}{2}.2\pi .\frac{x}{2} + x + 2y = \frac{{\pi x}}{2} + x + 2.\frac{1}{x}\left( {2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8}} \right) = \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right)x + \frac{4}{x}\) với \(0 < x < \frac{4}{{\sqrt \pi }}\).

xét hàm số \(p\left( x \right) = \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right)x + \frac{4}{x}\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{4}{{\sqrt \pi }}} \right)\).

ta có: \(p'\left( x \right) = \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{4}{{{x^2}}}\)

\(p'\left( x \right) = 0 \leftrightarrow \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{4}{{{x^2}}} = 0 \leftrightarrow {x^2} = \frac{{16}}{{\pi + 4}} \leftrightarrow x = \frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}\) hoặc \(x = - \frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}\) (loại).

bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {0;\frac{4}{{\sqrt \pi }}} \right)\):

từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;\frac{4}{{\sqrt \pi }}} \right)} p\left( x \right) = p\left( {\frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}} \right) \approx 5,34\).

vậy chu vi nhỏ nhất của mặt cắt ngang của đường cống là khoảng 5,34 m khi \(x = \frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }} \approx 1,50\left( m \right)\) và \(y = \frac{2}{{\frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}}} - \frac{{\pi .\frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}}}{8} \approx 0,75\left( m \right)\).