THCS.thuvienloigiai.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chuyên) năm học 2024 – 2025 trường Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh; kỳ thi được diễn ra vào ngày 26 tháng 05 năm 2024.
Trích dẫn Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 – 2025 trường PTNK – TP HCM:
+ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có tam giác ABD là tam giác nhọn và đường chéo AC đi qua tâm O của đường tròn (O). Gọi I là trung điểm BD, H là trực tâm của tam giác ABD, E là giao điểm khác A của AI với (O) và K là hình chiếu vuông góc của H lên AI. a) Chứng minh CEHK là hình bình hành và IB2 = ID2 = IA.IK. b) Lấy điểm F trên cung nhỏ BD của đường tròn (O) sao cho BAF = DAI. Chứng minh các điểm K và F đối xứng nhau qua đường thẳng BD. c) Chứng minh các đường phân giác trong các góc BAD và BKD cắt nhau trên BD. d) Trên đường thẳng qua H và song song AC lấy điểm T sao cho TH = TK. Chứng minh các điểm O, K, F, T cùng thuộc một đường tròn.
+ Cho các số nguyên dương a1 < a2 < a3 < … < a30 < a31. Người ta ghi tất cả các số này lên 31 chiếc thẻ, mỗi thẻ ghi một số. a) Biết rằng tổng các số được ghi trên 16 thẻ bất kỳ trong số 31 thẻ trên luôn lớn hơn tổng các số được ghi trên 15 thẻ còn lại. Chứng minh a1 ≥ 226. b) Lấy a1, a2, …, a31 là 31 số nguyên dương đầu tiên: 1, 2, …, 31. Người ta bỏ 31 thẻ được ghi các số này vào hai chiếc hộp một cách ngẫu nhiên. Khi kiểm tra một hộp thì thấy rằng trong hộp đó không có hai thẻ nào có tổng hai số được ghi là số chính phương. Chứng minh trong hộp còn lại ta có thể chọn ra được bốn thẻ và chia chúng thành hai cặp sao cho tổng hai số được ghi trên mỗi cặp là số chính phương.
