[Chuyên đề học tập Toán Lớp 10 Chân trời sáng tạo] Giải bài 4 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Hướng dẫn học bài: Giải bài 4 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'Chuyên đề học tập Toán Lớp 10 Chân trời sáng tạo Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.
Đề bài
Cho \(a,b \ge 0\). Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
\(\frac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n}\)
Lời giải chi tiết
Ta chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(\frac{{{a^1} + {b^1}}}{2} = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^1}\)
Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Giải sử bất đẳng thức đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^k}\)
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(\frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}}\)
Sử dụng giả thiết quy nạp ta có: \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}} = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^k}.\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right) \le \left( {\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2}} \right).\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\)
Ta sẽ nhận được điều phải chứng minh nếu chứng minh được:
\(\left( {\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2}} \right).\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right) \le \frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2}\)
Hay \(\left( {{a^k} + {b^k}} \right).\left( {a + b} \right) \le 2\left( {{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}} \right)\)
Hay \({a^{k + 1}} + {b^{k + 1}} + b{a^k} + a{b^k} \le 2\left( {{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}} \right)\)
Hay \({a^{k + 1}} + {b^{k + 1}} - b{a^k} - a{b^k} \ge 0\)
Hay \(\left( {{a^k} - {b^k}} \right)\left( {a - b} \right) \ge 0\) đúng vì \(\left( {{a^k} - {b^k}} \right)\) và \(\left( {a - b} \right)\) cùng dấu, \(k \in \mathbb{N}*;a,b \ge 0.\)
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n.
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 10
Môn Vật lí Lớp 10
Môn Tiếng Anh Lớp 10
Môn Hóa học Lớp 10
Môn Sinh học Lớp 10
Môn Lịch sử Lớp 10
Môn Địa lí Lớp 10
Môn Toán học Lớp 10
Môn GD kinh tế và pháp luật Lớp 10
Lời giải và bài tập Lớp 10 đang được quan tâm
Đề thi giữa kì 1 Toán 10 - Đề số 13
Đề thi giữa kì 1 Toán 10 - Đề số 12
Đề thi giữa kì 1 Toán 10 - Đề số 11
Đề cương ôn tập học kì 1 Toán 10 - Kết nối tri thức
Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 10 Kết nối tri thức - Đề số 5
Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 10 Kết nối tri thức - Đề số 4
Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 10 Kết nối tri thức - Đề số 3
Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 10 Kết nối tri thức - Đề số 2
Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 10 Kết nối tri thức - Đề số 1
Đề thi học kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức - Đề số 13
