[SGK Toán Lớp 7 Cánh Diều] Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng
Bài học này tập trung vào khái niệm "đường trung trực của một đoạn thẳng". Mục tiêu chính là giúp học sinh hiểu được định nghĩa, tính chất, cách vẽ và ứng dụng của đường trung trực trong các bài toán hình học. Qua bài học, học sinh sẽ nắm vững các khái niệm liên quan, phát triển tư duy hình học và rèn kỹ năng vẽ hình, chứng minh hình học.
2. Kiến thức và kỹ năng Kiến thức: Học sinh sẽ hiểu rõ khái niệm đường trung trực của một đoạn thẳng, nắm được tính chất cơ bản của đường trung trực. Học sinh sẽ được làm quen với định lý về đường trung trực và cách chứng minh. Kỹ năng: Vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng bằng thước và compa. Xác định điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng. Vận dụng tính chất đường trung trực để giải các bài toán hình học. Phân tích và chứng minh các bài toán liên quan đến đường trung trực. Phát triển tư duy logic và khả năng diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học. 3. Phương pháp tiếp cậnBài học sẽ được trình bày theo phương pháp kết hợp giữa lý thuyết và thực hành.
Giảng bài:
Giáo viên sẽ trình bày định nghĩa, tính chất và định lý về đường trung trực, minh họa bằng các hình vẽ và ví dụ cụ thể.
Thảo luận nhóm:
Học sinh sẽ thảo luận trong nhóm về các bài tập vận dụng, cùng nhau tìm ra lời giải và cách trình bày.
Thực hành:
Học sinh sẽ được hướng dẫn vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng bằng thước và compa, và thực hành giải các bài tập áp dụng.
Giải đáp thắc mắc:
Giáo viên sẽ dành thời gian giải đáp những thắc mắc của học sinh về bài học.
Kiến thức về đường trung trực có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Xây dựng:
Trong thiết kế và thi công các công trình kiến trúc, đường trung trực có thể được sử dụng để xác định tâm đối xứng hoặc các điểm quan trọng.
Thiết kế đồ họa:
Đường trung trực được sử dụng trong thiết kế đồ họa để tạo ra các hình đối xứng.
Đóng khuôn mẫu:
Trong việc đóng khuôn mẫu, đường trung trực có thể được sử dụng để đảm bảo độ chính xác của các chi tiết.
Bài học này là một phần quan trọng trong chương trình hình học lớp 7. Nó dựa trên các kiến thức về điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, tia, và các khái niệm cơ bản về hình học. Nó sẽ là nền tảng cho việc học các bài học về tam giác, hình thang, và nhiều hình học phức tạp hơn trong tương lai.
6. Hướng dẫn học tập Chuẩn bị bài: Học sinh nên xem lại các kiến thức về điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, tia trước khi đến lớp. Ghi chú: Ghi chép đầy đủ các định nghĩa, tính chất và định lý về đường trung trực. Thực hành: Thực hành vẽ đường trung trực của các đoạn thẳng khác nhau. Giải bài tập: Cố gắng giải quyết các bài tập vận dụng trong sách giáo khoa và các bài tập bổ sung. Hỏi đáp: Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, hãy đặt câu hỏi cho giáo viên hoặc bạn bè. Làm việc nhóm: Tham gia tích cực vào các hoạt động thảo luận nhóm để học hỏi lẫn nhau. Keywords:1. Đường trung trực
2. Đoạn thẳng
3. Điểm
4. Hình học
5. Lớp 7
6. Tính chất
7. Định lý
8. Chứng minh
9. Vẽ hình
10. Thước
11. Compa
12. Hình đối xứng
13. Tâm đối xứng
14. Xây dựng
15. Thiết kế
16. Đồ họa
17. Công trình
18. Kiến trúc
19. Đóng khuôn
20. Mẫu
21. Độ chính xác
22. Hình học phẳng
23. Góc
24. Tam giác
25. Hình thang
26. Điểm nằm trên đường trung trực
27. Khoảng cách
28. Hai điểm đối xứng
29. Đường thẳng vuông góc
30. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
31. Định nghĩa
32. Ví dụ
33. Bài tập
34. Thảo luận
35. Nhóm
36. Kỹ năng
37. Tư duy logic
38. Diễn đạt
39. Phương pháp
40. Bài học
Đề bài
Cho đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M không thuộc đường thẳng d và đoạn thẳng AB sao cho đường thẳng d cắt đoạn thẳng MB tại điểm I. Chứng minh:
a) \(MB = AI + IM\);
b) MA < MB.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Dựa vào tính chất của đường trung trực: Một điểm thuộc đường trung trực thì cách đều hai đầu mút.
b) Dựa vào tính chất trong tam giác: Tổng hai cạnh bất kì luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Mà điểm I thuộc đường thẳng d nên suy ra: IA = IB. (Một điểm thuộc đường trung trực thì cách đều hai đầu mút).
Ta có: \(MB = MI + IB\) mà IA = IB nên \(MB = MI + IA = AI + IM\).
b) Xét tam giác AMI có: \(MA < AI + IM\)(Tổng hai cạnh bất kì trong một tam giác luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại) mà \(MB = AI + IM\).
Vậy \(MA < MB\).
Đề bài
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Gọi a và b lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng AB và BC. Chứng minh a // b.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hai đường thẳng không cắt nhau cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Lời giải chi tiết
Ta có: a và b lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng AB và BC nên \(a \bot AB,b \bot BC\).
Mà ba điểm A, B, C thẳng hàng với nhau nên đường thẳng a và b không cắt nhau và chúng cùng vuông góc với đường thẳng chứa ba điểm A, B, C.
Vậy a // b.
Đề bài
Trong Hình 95, đường thẳng a là đường trung trực của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:
a) AB // CD;
b) \(\Delta MNC = \Delta MND;\)
c) \(\widehat {AMD} = \widehat {BMC}\);
d) \(AD = BC,\widehat A = \widehat B\);
e) \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh AB // CD bằng cách dựa vào đường thẳng a là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.
b) Chứng minh \(\Delta MNC = \Delta MND\) theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.
c) Dựa vào kết quả của phần b) để chứng minh \(\widehat {AMD} = \widehat {BMC}\).
d) Chứng minh \(AD = BC,\widehat A = \widehat B\) dựa vào cách chứng minh \(\Delta MAD = \Delta MBC\).
e) Chứng minh \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) dựa vào kết quả của phần d).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD nên \(a \bot AB;a \bot CD\).
Suy ra: AB // CD.
b) Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD nên MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD. Suy ra: MD = MC.
Xét tam giác vuông MNC và tam giác vuông MND có: ND = NC; MD = MC.
Vậy \(\Delta MNC = \Delta MND\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông).
c) \(\Delta MNC = \Delta MND\)nên \(\widehat {CMN} = \widehat {DMN}\).
Mà \(\widehat {AMN} = \widehat {BMN} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {AMN} - \widehat {DMN} = \widehat {BMN} - \widehat {CMN}\).
Vậy \(\widehat {AMD} = \widehat {BMC}\).
d) Xét hai tam giác AMD và BMC có:
MA = MB;
\(\widehat {AMD} = \widehat {BMC}\);
MD = MC.
Vậy \(\Delta MAD = \Delta MBC\)(c.g.c). Suy ra: \(AD = BC,\widehat A = \widehat B\) (cặp cạnh và góc tương ứng).
e) \(\Delta MAD = \Delta MBC\) nên \(\widehat {ADM} = \widehat {BCM}\) (2 góc tương ứng).
\(\Delta MNC = \Delta MND\) nên \(\widehat {MCN} = \widehat {MDN}\) (2 góc tương ứng).
Vậy \(\widehat {ADM} + \widehat {MDN} = \widehat {BCM} + \widehat {MCN}\) hay \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\).
Đề bài
Trong Hình 94, đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh \(\widehat {CAD} = \widehat {CBD}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh \(\widehat {CAD} = \widehat {CBD}\) bằng cách chứng minh \(\widehat {CAB} - \widehat {DAB} = \widehat {CBA} - \widehat {DBA}\).
Lời giải chi tiết
Ta có: đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên CA=CB và DA=DB.
Ta có tam giác ABC cân tại C, tam giác DAB cân tại D
Suy ra \(\widehat {CAB} = \widehat {CBA};\widehat {DAB} = \widehat {DBA}\).
Vậy \(\widehat {CAB} - \widehat {DAB} = \widehat {CBA} - \widehat {DBA}\) suy ra: \(\widehat {CAD} = \widehat {CBD}\).
II. Tính chất
HĐ 2
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc d, M khác O (Hình 90).
Chứng minh rằng:
a) \(\Delta MOA = \Delta MOB\);
b) MA = MB.
Phương pháp giải:
a) Chứng minh \(\Delta MOA = \Delta MOB\)theo trường hợp c.g.c.
b) Dựa vào kết quả của phần a) để chứng minh MA = MB.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc d nên MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB
\(\Rightarrow MO \bot AB \to \widehat {MOA} = \widehat {MOB} = 90^\circ \).
Xét tam giác MOA và tam giác MOB có:
OM chung;
\(\widehat {MOA} = \widehat {MOB} = 90^\circ \);
OA = OB (O là trung điểm của đoạn thẳng AB).
Vậy \(\Delta MOA = \Delta MOB\) (c.g.c)
b) \(\Delta MOA = \Delta MOB\) nên MA = MB ( 2 cạnh tương ứng)
LT - VD 2
Hình 91 mô tả mặt cắt đứng của một ngôi nhà với hai mái là OA và OB, mái nhà bên trái dài 3 m. Tính chiều dài mái nhà bên phải, biết rằng điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Phương pháp giải:
Dựa vào tính chất của đường trung trực: Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Lời giải chi tiết:
O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OA = OB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).
Vậy suy ra mái nhà bên trái dài 3 m nên mái nhà bên phải cũng dài 3 m.
HĐ 3
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O. Giả sử M là một điểm khác O sao cho MA = MB.
a) Hai tam giác \(\Delta MOA\) và \(\Delta MOB\) có bằng nhau hay không? Vì sao?
b) Đường thẳng MO có là đường trung trực của đoạn thẳng AB hay không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Chứng minh hai tam giác MOA và MOB bằng nhau theo trường hợp c.c.c.
b) Để xem MO có là đường trung trực của AB hay không, ta tìm mối liên hệ giữa MO và AB.
Lời giải chi tiết:
a) Xét hai tam giác MOA và MOB có:
OA = OB (O là trung điểm của AB);
MO chung;
MA = MB.
Vậy \(\Delta MOA = \Delta MOB\)(c.c.c).
b) \(\Delta MOA = \Delta MOB\)nên \(\widehat {MOA} = \widehat {MOB} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOB} = 90^\circ \)hay \(MO \bot AB\).
Vậy MO có là đường trung trực của đoạn thẳng AB (MO đi qua trung điểm O của đoạn thẳng AB và vuông góc với đoạn thẳng AB).
LT - VD 3
Cho tam giác ABC cân tại A.
a) Điểm A có thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không? Vì sao?
b) Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt cạnh BC tại H. Đường thẳng AH có là đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Dựa vào tính chất của đường thẳng trung trực: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường thẳng trung trực của đoạn thẳng đó.
b) Muốn xem đường thẳng AH có là đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không, ta tìm mối liên hệ giữa AH với đoạn thẳng BC.
Lời giải chi tiết:
a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. Vậy điểm A có thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.
b) Ta có tam giác ABC cân mà đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt BC tại H nên H là trung điểm của BC.
Vậy AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC. (AH đi qua trung điểm H của đoạn thẳng BC và vuông góc với đoạn thẳng BC).
I. Định nghĩa
HĐ 1
Quan sát Hình 87.
a) So sánh hai đoạn thẳng IA và IB.
b) Tìm số đo của các góc \({I_1},{I_2}\).
Phương pháp giải:
a) Đếm số ô vuông để xác định độ dài đoạn thẳng IA, IB.
b) Quan sát Hình 87 để đưa ra số đo góc của các góc \({I_1},{I_2}\) .
Lời giải chi tiết:
a) \(IA = IB = 2\).
b) \({I_1} = {I_2} = 90^\circ \).
LT - VD 1
Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Biết \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\). Chứng minh AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Phương pháp giải:
Chứng minh AM đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với đoạn thẳng BC
Lời giải chi tiết:
M là trung điểm của BC nên B, M, C thằng hàng → \(\widehat {BMC} = 180^\circ \). Mà \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\)nên \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 180^\circ :2 = 90^\circ \)→ \(AM \bot BC\).
Vậy AM đi qua trung điểm M của đoạn thẳng BC và AM vuông góc với BC. Hay AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Đề bài
Hình 86 minh họa chiếc cân thăng bằng và gợi nên hình ảnh đoạn thẳng AB, đường thẳng d.
Đường thẳng d có mối liên hệ gì với đoạn thẳng AB?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Quan sát Hình 86 và đưa ra mối liên hệ giữa đường thẳng d và đoạn thằng AB.
Lời giải chi tiết
Đường thẳng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đoạn thẳng AB.
Giải bài tập những môn khác
Môn Toán học Lớp 7
Môn Ngữ văn Lớp 7
Môn Khoa học tự nhiên Lớp 7
Môn Tiếng Anh Lớp 7
Môn Lịch sử và Địa lí Lớp 7
Lời giải và bài tập Lớp 7 đang được quan tâm
