[SGK Toán Lớp 7 Cánh Diều] Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Bài học này tập trung vào việc nghiên cứu tính chất của ba đường trung tuyến trong một tam giác. Đường trung tuyến là đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện. Mục tiêu chính là giúp học sinh hiểu và vận dụng được tính chất này để giải quyết các bài toán hình học liên quan.
2. Kiến thức và kỹ năngHọc sinh sẽ:
Hiểu được định nghĩa và cách vẽ đường trung tuyến của một tam giác. Nhận biết và mô tả tính chất của ba đường trung tuyến trong tam giác. Vận dụng tính chất này để giải các bài toán hình học, chứng minh các kết quả liên quan. Phát triển kỹ năng tư duy logic và khả năng phân tích hình học. 3. Phương pháp tiếp cậnBài học được thiết kế theo phương pháp kết hợp giữa lý thuyết và thực hành. Đầu tiên, bài học sẽ giới thiệu định nghĩa và cách vẽ đường trung tuyến. Sau đó, các tính chất của ba đường trung tuyến sẽ được trình bày rõ ràng, kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể. Học sinh sẽ được hướng dẫn cách chứng minh tính chất thông qua các bước logic và sử dụng các kiến thức hình học đã học trước đó. Cuối cùng, bài học sẽ cung cấp nhiều bài tập thực hành để học sinh tự vận dụng kiến thức và rèn luyện kỹ năng.
4. Ứng dụng thực tếKiến thức về tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Thiết kế và xây dựng các công trình kiến trúc, đòi hỏi tính chính xác và đối xứng. Giải quyết các bài toán đo đạc trong khảo sát địa hình. Vận dụng trong nhiều lĩnh vực khác như thiết kế đồ họa, lập trình máy tính. 5. Kết nối với chương trình họcBài học này liên quan đến các bài học trước về:
Định nghĩa và tính chất của tam giác.
Các đường thẳng quan trọng trong tam giác (đường cao, đường phân giác).
Khái niệm về trọng tâm tam giác.
Các kiến thức về hình học phẳng.
Bài học này sẽ là nền tảng cho việc học các bài học sau về hình học phẳng, đặc biệt là các bài toán về tam giác và các đường thẳng quan trọng.
6. Hướng dẫn học tậpĐể học tốt bài học này, học sinh nên:
Đọc kĩ lý thuyết và nắm vững định nghĩa về đường trung tuyến.
Cẩn thận xem xét các ví dụ minh họa, đặc biệt tập trung vào cách chứng minh tính chất.
Thực hành giải các bài tập, bắt đầu từ những bài đơn giản và dần chuyển sang những bài khó hơn.
Sử dụng thước kẻ, compa để vẽ hình chính xác.
Tìm kiếm thêm các tài liệu tham khảo khác để củng cố kiến thức.
Thảo luận với bạn bè, giáo viên nếu gặp khó khăn.
Tập vẽ các hình minh họa và phân tích các bài toán một cách cẩn thận.
1. Đường trung tuyến
2. Tam giác
3. Trọng tâm
4. Hình học
5. Tính chất
6. Chứng minh
7. Định lý
8. Định nghĩa
9. Phân tích
10. Vẽ hình
11. Ví dụ
12. Bài tập
13. Giải bài tập
14. Lớp 7
15. Hình học phẳng
16. Đường thẳng
17. Cạnh
18. Đỉnh
19. Trung điểm
20. Đối xứng
21. Cân bằng
22. Đo đạc
23. Kiến trúc
24. Thiết kế
25. Khảo sát
26. Đồ họa
27. Lập trình
28. Phân giác
29. Đường cao
30. Trọng tâm tam giác
31. Hệ thức
32. Định lí
33. Tính chất đường trung tuyến
34. Phương pháp chứng minh
35. Hình vẽ
36. Giải bài toán
37. Bài tập nâng cao
38. Ôn tập
39. Kiểm tra
40. Ứng dụng thực tế
Đề bài
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC. Giả sử H là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh:
a) \(\Delta AHB = \Delta AHM\); b) \(AG = \dfrac{2}{3}AB\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHM\)theo trường hợp c.g.c.
b) Dựa vào kết quả chứng minh phần a) và tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác để chứng minh.
Lời giải chi tiết
a) Xét tam giác AHB và tam giác AHM có:
AH chung;
\(\widehat {AHB} = \widehat {AHM}\)(H là hình chiếu của A lên BC nên \(AH \bot BC\));
HB = HM (H là trung điểm của BM).
Vậy \(\Delta AHB = \Delta AHM\)(c.g.c).
b) \(\Delta AHB = \Delta AHM\)nên AB = AM ( 2 cạnh tương ứng).
G là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN nên G là trọng tâm tam giác ABC. Nên: \(AG = \dfrac{2}{3}AM\).
Mà AB = AM suy ra: \(AG = \dfrac{2}{3}AB\).
Đề bài
Hình 107 là mặt cắt đứng của một ngôi nhà ba tầng có mái dốc. Mỗi tầng cao 3,3 m. Mặt cắt mái nhà có dạng tam giác ABC cân tại A với đường trung tuyến AH dài 1,2 m. Tại vị trí O là trọng tâm tam giác ABC, người ta làm tâm cho một cửa sổ có dạng hình tròn.
a) AH có vuông góc với BC không? Vì sao?
b) Vị trí O ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Xét 2 tam giác ABH và ACH bằng nhau, suy ra 2 góc H bằng nhau (\(=90^0\))
b) Tính khoảng cách vị trí O so với mặt đất bằng cách tính độ cao của ba tầng và khoảng cách OH.
Lời giải chi tiết
a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AB = AC
Vì AH là đường trung tuyến của tam giác ABC nên BH = HC = \(\dfrac{1}{2}\). BC
Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\) có:
AH chung
AB = AC
BH = HC
\(\Rightarrow \Delta ABH=\Delta ACH\) (c.c.c)
\(\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) ( 2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)
\(\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}=180^0 : 2 = 90^0\)
Vậy AH có vuông góc với BC.
b) Vị trí O ở độ cao so với mặt đất bằng độ cao ba tầng cộng với khoảng cách OH.
Độ cao ba tầng của tòa nhà bằng \(3,3.3 = 9,9\)(m).
Mà O là trọng tâm tam giác ABC nên \(OH = \dfrac{1}{3}AH\). Vậy \(OH = \dfrac{1}{3}.1,2 = 0,4\)(m).
Vậy vị trí O ở độ cao: \(9,9 + 0,4 = 10,3\)m so với mặt đất.
Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:
a) BM = CN; b) \(\Delta GBC\) cân tại G.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh BM = CN bằng cách chứng minh tam giác ABM bằng tam giác ACN.
b) Chứng minh \(\Delta GBC\) cân tại G bằng cách chứng minh GB = GC.
Lời giải chi tiết
a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB nên AM = AN.
Xét tam giác ABM và tam giác ACN có: AM = AN; \(\widehat A\)chung; AB = AC.
Vậy \(\Delta ABM = \Delta ACN\)(c.g.c) hay BM = CN.
b) Xét tam giác ABC có G là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN nên G là trọng tâm tam giác ABC. Do đó:
\(GB = \dfrac{2}{3}BM;GC = \dfrac{2}{3}CN\). Mà BM = CN nên GB = GC.
Vậy tam giác GBC cân tại G.
Đề bài
Cho tam giác ABC. Ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G. Chứng minh:
\(GA + GB + GC = \dfrac{2}{3}(AM + BN + CP)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\)độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Lời giải chi tiết
Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\)độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy nên:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{GA}}{{AM}} = \dfrac{{GB}}{{BN}} = \dfrac{{GC}}{{CP}} = \dfrac{2}{3}\\ \to GA = \dfrac{2}{3}AM;GB = \dfrac{2}{3}BN;GC = \dfrac{2}{3}CP\end{array}\)
Vậy:
\(GA + GB + GC = \dfrac{2}{3}AM + \dfrac{2}{3}BN + \dfrac{2}{3}CP = \dfrac{2}{3}(AM + BN + CP)\).
Đề bài
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG. Chứng minh:
a) GA = GD;
b) \(\Delta MBG = \Delta MCD\);
c) \(CD = 2GN\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Dựa vào tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác.
b) Chứng minh hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp c.g.c.
c) Dựa vào kết quả phần b) để chứng minh \(CD = 2GN\).
Lời giải chi tiết
a) G là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN nên G là trọng tâm tam giác ABC.
Suy ra: \(AG = 2GM\). Mà trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG nên \(GD = 2GM\).
Vậy GA = GD (= 2GM).
b) Xét hai tam giác MBG và MCD có:
MB = MC (M là trung điểm cạnh BC)
\(\widehat {GMB} = \widehat {DMC}\)(đối đỉnh)
GM = MD.
Vậy \(\Delta MBG = \Delta MCD\)(c.g.c).
c) \(\Delta MBG = \Delta MCD\) nên BG = CD (2 cạnh tương ứng).
Mà G là trọng tâm tam giác ABC nên \(BG = 2GN\). Mà BG = CD nên \(CD = 2GN\).
I. Đường trung tuyến của tam giác
HĐ 1
Quan sát Hình 97 và cho biết các đầu mút của đoạn thẳng AM có đặc điểm gì.
Phương pháp giải:
Quan sát Hình 97 và đưa ra đặc điểm của các đầu mút của đoạn thẳng AM.
Lời giải chi tiết:
Các đầu mút của đoạn thẳng AM: đầu mút A là một đỉnh của tam giác, đầu mút M là trung điểm của cạnh BC trong tam giác ABC.
LT - VD 1
Trong Hình 101, đoạn thẳng HK là đường trung tuyến của những tam giác nào?
Phương pháp giải:
Đường trung tuyến là đường nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện đỉnh đó.
Lời giải chi tiết:
Đoạn thẳng HK là đường trung tuyến của tam giác: KAC (đỉnh K và trung điểm H của cạnh AC) và HBC (đỉnh H và trung điểm K của cạnh BC).
II. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
HĐ 2
Quan sát các đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC trong Hình 102, cho biết ba đường trung tuyến đó có cùng đi qua một điểm hay không.
Phương pháp giải:
Quan sát Hình 102 để xem ba đường trung tuyến có cùng đi qua một điểm hay không.
Lời giải chi tiết:
Ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC có cùng đi qua một điểm là điểm G.
LT - VD 2
Cho tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G. Gọi I là trung điểm của cạnh QR. Chứng minh rằng ba điểm P, G, I thẳng hàng.
Phương pháp giải:
Cho tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G. Gọi I là trung điểm của cạnh QR. Chứng minh rằng ba điểm P, G, I thẳng hàng.
Lời giải chi tiết:
Ta có G là giao điểm của hai đường trung tuyến QM và RK.
Mà I là trung điểm của QR nên PI cũng là đường trung tuyến trong tam giác PQR.
Vậy PI giao với QM và RK tại G
Do đó, G thuộc PI hay ba điểm P, G, I thẳng hàng.
HĐ 3
Quan sát các đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC trong Hình 104. Bằng cách đếm số ô vuông, tìm các tỉ số
\(\dfrac{{AG}}{{AM}},\dfrac{{BG}}{{BN}},\dfrac{{CG}}{{CP}}\).
Phương pháp giải:
Quan sát Hình 104 rồi đếm số ô vuông của mỗi cạnh tương ứng để đưa ra các tỉ số.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\dfrac{{AG}}{{AM}} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\);
\(\dfrac{{BG}}{{BN}} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\);
\(\dfrac{{CG}}{{CP}} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\).
Đề bài
Hình 96 minh họa một miếng bìa phẳng có dạng hình tam giác đặt thăng bằng trên đầu ngón tay tại điểm G.
Điểm G được xác định như thế nào?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác để đưa ra cách xác định điểm G.
Lời giải chi tiết
Điểm G được xác định bằng cách: lấy giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác.
Giải bài tập những môn khác
Môn Toán học Lớp 7
Môn Ngữ văn Lớp 7
Môn Khoa học tự nhiên Lớp 7
Môn Tiếng Anh Lớp 7
Môn Lịch sử và Địa lí Lớp 7
Lời giải và bài tập Lớp 7 đang được quan tâm
