[SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo] Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Đề bài

Áp dụng tính chất quang học của parabol để giải quyết vẫn đề sau đây:

Một đèn pin có chóa đèn có mặt cắt hình parabol với kích thước như trong hình 21.

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc O là đỉnh của parabol và trục Ox đi qua tiêu điểm. Viết phương trình của parabol trong hệ tọa độ vừa chọn.

b) Để đèn chiếu được xa phải đặt bóng đèn cách đỉnh của chóa đèn bao nhiêu xentimét

Lời giải chi tiết

a) Vẽ lại hình vẽ như dưới đây

Ta có \(AB = 18,x = 3 \Rightarrow A(3;9)\)

Gọi phương trình parabol tổng quát \({y^2} = 2px\)

Thay tọa độ điểm A vào phương trình ta có: \({9^2} = 2p.3 \Rightarrow p = \frac{{27}}{2}\)

Vậy phương trình parabol trên hệ trục tọa độ vừa chọn là \({y^2} = 27x\)

b) Từ câu a) ta có: \(p = \frac{{27}}{2}\)

Suy ra tiêu điểm của parabol là \(F\left( {\frac{{27}}{4};0} \right)\)

Vậy để đèn chiếu được xa phải đặt bóng đèn cách đỉnh của chóa đèn \(\frac{{27}}{4}\) xentimét

Đề bài

Một cái cầu có dây cáp treo như hình vẽ parabol, cầu dài 100 m và được nâng đỡ bởi những thanh thẳng đứng treo từ cáp xuống, thanh dài nhất là 30m, thanh ngắn nhất là 6m (hình 18). Tính chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 18m

Lời giải chi tiết

Chọn hệ tọa độ Oxy với gốc tọa độ tại điểm trên của thanh ngắn giữa cầu, trục tung tương ứng là mặt đường của cầu, vẽ lại hình như dưới đây

Ta nhận thấy cầu có dạng parabol nên gọi phương trình mô tả hình dạng cầu là \({y^2} = 2px\)

Cầu dài 100 m tương ứng \(AB = 2OB = 100 \Rightarrow OB = 50\), thanh dài nhất dài 30 m

Từ đó ta có tọa độ điểm \(C(24;50)\)

Thay tọa độ C vào phương trình \({y^2} = 2px\) ta có \(2500 = 2p.24 \Rightarrow p = \frac{{625}}{{12}}\)

Ta có phương trình mô tả cây cầu là \({y^2} = \frac{{625}}{6}x\)

Tại thanh cách điểm giữa cầu 18m thì \(x = 18\) ta có \({18^2} = \frac{{625}}{6}.x \Rightarrow x \approx 3,11\)

Do thanh ngắn nhất là 6m nên chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 18m là x  + 6 = 3,11+ 6 = 9,11 (m).

Vậy chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 18m gần bằng 9,11 m.

Đề bài

Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hyperbol có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{28}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{42}^2}}} = 1\) (hình 17). Biết chiều cao của tháp là 150 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol là \(\frac{2}{3}\) khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp

Lời giải chi tiết

Gọi khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy tháp là z

Suy ra khoảng cách từ tâm đối xứng đến nóc tháp là \(\frac{2}{3}z\)

Ta có \(z + \frac{2}{3}z = 150 \Rightarrow z = 90\)

Thay \(y = 90\) vào phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{28}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{42}^2}}} = 1\) ta tìm được \(x = 4\sqrt {274} \)

Thay \(y = 60\) vào phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{28}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{42}^2}}} = 1\) ta tìm được \(x = 4\sqrt {149} \)

Vậy bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp lần lượt là \(4\sqrt {149} \) m và \(4\sqrt {274} \)m

Đề bài

Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao 8 m, rộng 20 m (hình 16)

a) Chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên

b) Tính khoảng cách phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5 m đến nóc nhà vòm

Lời giải chi tiết

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ tại tâm đáy nhà vòm, trục tung thẳng đứng

Nhà vòm có dạng elip nên có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)   (với a,b>0)

Ta có chiều cao 8 m nên \(OA = b = 8\), chiều rộng của vòm là 20 m, suy ra \(BC = 2a = 20 \Rightarrow a = 10\).

Suy ra, phương trình miêu tả hình dáng nhà vòm là \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

b) Điểm đó cách chân tưởng 5 m tương ứng cách tâm 5 m (vì từ tâm vòm đến tưởng là 10 m)

Thay \(x = 5\) vào phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\), ta tìm được \(y = 4\sqrt 3 \)

Vậy khoảng cách phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5 m đến nóc nhà vòm là \(4\sqrt 3\) m

Đề bài

Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình Elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước là 80 cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó trên tấm ván ép như hướng dẫn sau:

Chuẩn bị

- Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.

Thực hiện

- Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh trên 2 điểm đó trên tấm ván.

- Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M  rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường elip (Xem minh họa trong hình 15).

Phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm bìa bao nhiêu xentimets và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Từ giải thiết ta có: \(2a = 80 \Rightarrow a = 40,2b = 40 \Rightarrow b = 20\)

Suy ra, \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 20\sqrt 3 \)

Suy ra vị trí đinh cách mép là \(a - c = 40 - 20\sqrt 3 = 5,36\) cm

Chiều dài vòng dây là \(2a + 2c = 2.40 + 2.20\sqrt 3 = 149,28\) cm

Vậy phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm bìa 5,36 cm và lấy vòng dây có độ dài là 149,28 cm

Đề bài

Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ của các tiêu điểm của chúng

a) \(({C_1}):4{x^2} + 16{y^2} = 1\)

b) \(({C_2}):16{x^2} - 4{y^2} = 144\)

c) \(({C_3}):x = \frac{1}{8}{y^2}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta thấy phương trình có dạng \(a{x^2} + b{y^2} = 1\) nên phương trình \(({C_1}):4{x^2} + 16{y^2} = 1\) là phương trình của đường elip

Từ phương trình \(({C_1}):4{x^2} + 16{y^2} = 1\) ta có phương trình chính tắc là \(({C_1}):\frac{{{x^2}}}{{\frac{1}{4}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{1}{{16}}}} = 1\)

Từ phương trình chính tắc ta có: \(a = \frac{1}{2},b = \frac{1}{4} \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)

Suy ra tiêu điểm của elip này là \({F_1}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{4};0} \right)\) và \({F_2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4};0} \right)\)

b) Ta thấy phương trình có dạng \(a{x^2} - b{y^2} = 1\) nên phương trình \(({C_2}):16{x^2} - 4{y^2} = 144\) là phương trình của đường hypebol

Từ phương trình \(({C_2}):16{x^2} - 4{y^2} = 144\) ta có phương trình chính tắc là \(({C_1}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)

Từ phương trình chính tắc ta có: \(a = 3,b = 6 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{3^2} + {6^2}}  = 3\sqrt 5 \)

Suy ra tiêu điểm của hypebol này là \({F_1}\left( { - 3\sqrt 5;0} \right)\) và \({F_2}\left( {3\sqrt 5;0} \right)\)

c) Phương trình \(({C_3}):x = \frac{1}{8}{y^2}\) có dạng \({y^2} = ax\) nên phương trình này là phương trình của parabol

Ta có phương trình chính tắc là \({y^2} = 8x\)

Từ phương trình chính tắc ta có: \(2p = 8 \Rightarrow p = 4\)

Suy ra tiêu điểm là \(F(2;0)\)

Đề bài

Viết phương trình chính tắc của:

a) Elip có trục lớn bằng 20 và trục nhỏ bằng 16

b) Hypebol có tiêu cự \(2c = 20\) và độ dài trục thực \(2a = 12\)

c) Parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{2};0} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(2a = 20 \Rightarrow a = 10,2b = 16 \Rightarrow b = 8\).

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

b) Ta có \(2a = 12 \Rightarrow a = 6,2c = 20 \Rightarrow c = 10\), suy ra \(b = \sqrt {{c^2} - {a^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8\)

Vậy phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

c) Ta có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).

Do đó, \(\frac{p}{2} = \frac{1}{2}\) suy ra \(p = 1\).

Vậy phương trình chính tắc của parabol là \({y^2} = 2x\).

A. Lý thuyết

1. Elip

a) Nhận biết elip

b) Phương trình chính tắc của elip

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình chính tắc

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > b  > 0.

Chú ý:

- Elip (E) cắt Ox tại hai điểm \({A_1}( - a;0)\), \({A_2}(a;0)\) và cắt Oy tại hai điểm \({B_1}(0; - b)\), \({B_2}(0;b)\).

- Các điểm \({A_1}\), \({A_2}\), \({B_1}\), \({B_2}\) gọi là các đỉnh của elip.

- Đoạn thẳng \({A_1}{A_2}\) gọi là trục lớn, đoạn thẳng \({B_1}{B_2}\) gọi là trục nhỏ của elip.

- Giao điểm O của hai trục gọi là tâm đối xứng của elip.

- Nếu \(M(x;y) \in (E)\) thì \(\left| x \right| \le a\), \(\left| y \right| \le b\).

2. Hypebol

a) Nhận biết hypebol

b) Phương trình chính tắc của hypebol

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình chính tắc

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > 0, b  > 0.

Chú ý:

- Hypebol (H) cắt Ox tại hai điểm \({A_1}( - a;0)\), \({A_2}(a;0)\). Nếu vẽ hai điểm \({B_1}(0; - b)\), \({B_2}(0;b)\) vào hình chữ nhật \(O{A_2}P{B_2}\) thì \(OP = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = c\).

- Các điểm \({A_1}\), \({A_2}\) gọi là các đỉnh của hypebol.

- Đoạn thẳng \({A_1}{A_2}\) gọi là trục thực, đoạn thẳng \({B_1}{B_2}\) gọi là trục ảo của hypebol.

- Giao điểm O của hai trục là tâm đối xứng của hypebol.

- Nếu \(M(x;y) \in (H)\) thì \(x \le  - a\), \(x \ge a\).

3. Parabol

a) Nhận biết parabol

b) Phương trình chính tắc của parabol

Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của F trên \(\Delta \). Khi đó, trong hệ trục tọa độ Oxy với gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF, parabol (P) có phương trình chính tắc

\({y^2} = 2px\) (với p > 0).

Chú ý:

- O gọi là đỉnh của parabol (P).

- Ox gọi là trục đối xứng của (P).

- p gọi là tham số tiêu của (P).

- Nếu \(M(x;y) \in (P)\) thì \(x \ge 0\) và \(M'(x; - y) \in (P)\)..

B. Bài tập

Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của elip?

a) \(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\)

b) \(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} =  - 1\)

c) \(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\)

d) \(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\)

Giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > b  > 0 nên chỉ có trường hợp d) là phương trình chính tắc của elip.

Bài 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của hypebol?

a) \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} =  - 1\)

b) \(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{5^2}}} = 1\)

c) \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{5^2}}} = 1\)

d) \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\)

Giải:

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > 0, b  > 0 nên các trường hợp b), c), d) là phương trình chính tắc của hypebol.

Bài 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của parabol?

a) \({y^2} =  - 6x\)

b) \({y^2} = 6x\)

c) \({y^2} =  - 6y\)

d) \({y^2} = 6y\)

Giải:

Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2px\), với p > 0 nên chỉ có trường hợp d) là phương trình chính tắc của parabol.

Bài 4: Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip. Tính tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm.

Giải:

Ta có: \({a^2} = 25\), \({b^2} = 16\). Do đó \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 3\). Vậy elip có hai tiêu điểm là \({F_1}( - 3;0)\), \({F_2}(3;0)\) và tiêu cự là \({F_1}{F_2} = 2c = 6\). Ta có \(a = \sqrt {25}  = 5\) nên tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm bằng 2a = 10.

Bài 5: Cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?

Giải:

Ta có: \({a^2} = 9\), \({b^2} = 16\). Do đó \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 5\). Vậy hypebol có hai tiêu điểm là \({F_1}( - 5;0)\), \({F_2}(5;0)\) và tiêu cự là \(2c = 10\). Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng \(2a = 2\sqrt 9  = 6\).

Bài 6: Cho parabol (P): \({y^2} = x\).

a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \) của (P).

b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3.

Giải:

a) Ta có \(2p = 1\) nên \(p = \frac{1}{2}\).

Parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{4};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta :x =  - \frac{1}{4}\).

b) Điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc (P) có khoảng cách tới F bằng 3 khi và chỉ khi \({y_0}^2 = {x_0}\) và MF = 3. Do \(MF = d(M,\Delta )\) nên \(d(M,\Delta ) = 3\).

Mặt khác \(\Delta :x =  - \frac{1}{4}\) và \({x_0} = {y_0}^2 \ge 0\) nên \(3 = d(M,\Delta ) = \left| {{x_0} + \frac{1}{4}} \right| = {x_0} + \frac{1}{4}\).

Vậy \({x_0} = \frac{{11}}{4}\) và \({y_0} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\) hoặc \({y_0} =  - \frac{{\sqrt {11} }}{2}\).

Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán với tọa độ là \(\left( {\frac{{11}}{4};\frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{11}}{4}; - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\).

Bài 7: Lập phương trình chính tắc của elip (E) có một tiêu điểm là \({F_2}(5;0)\) và đi qua điểm M(0;3).

Giải:

Elip (E) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a > b > 0).

Do \({F_2}(5;0)\) là một tiêu điểm của (E) nên c = 5.

Điểm M(0;3) nằm trên (E) nên \(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Do đó \({b^2} = 9\).

Suy ra \({a^2} = {b^2} + {c^2} = 9 + 25 = 34\).

Vậy elip (E) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{34}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

Bài 8: Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm là \({F_2}(6;0)\) và đi qua điểm A(4;0).

Giải:

Hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a > 0, b > 0).

Do \({F_2}(6;0)\) là một tiêu điểm của (H) nên c = 6.

Điểm A(4;0) nằm trên (H) nên \(\frac{{{4^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Do đó \({a^2} = 16\).

Suy ra \({b^2} = {c^2} - {a^2} = {6^2} - 16 = 20\).

Vậy hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\).

Bài 9: Lập phương trình chính tắc của parabol (P), biết:

a) (P) có tiêu điểm là F(5;0).

b) (P) đi qua điểm M(2;1).

Giải:

Parabol (P) có phương trình chính tắc là \({y^2} = 2px\) (p > 0).

a) Do F(5;0) là tiêu điểm của (P) nên \(\frac{p}{2} = 5\), tức là p = 10.

Vậy parabol (P) có phương trình chính tắc là \({y^2} = 20x\).

b) M(2;1) nằm trên (P) nên \({1^2} = 2p.2\), tức \(p = \frac{1}{4}\).

Vậy parabol (P) có phương trình chính tắc là \({y^2} = \frac{x}{2}\).