[SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo] Bài 2. Xác suất của biến cố
Hướng dẫn học bài: Bài 2. Xác suất của biến cố - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.
Đề bài
Năm bạn Nhân, Lễ, Nghĩa, Trí và Tín sắp xếp một cách ngẫu nhiên thành một hàng ngang để chụp ảnh. Tính xác suất của biến cố:
a) “Nhân và Tín không đứng cạnh nhau”
b) “Trí không đứng ở đầu hàng”
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Xác định không gian mẫu
Bước 2: Xác định biến cố đối
Bước 3: Tính xác suất của biến cố đối bằng công thức \(P\left( A \right) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\)
Bước 4:Xác định xác suất của biến cố ban đầu
Lời giải chi tiết
Tổng số kết quả có thể xảy ra của phép thử là \(n(\Omega ) = 5!\)
a) Gọi biến cố \(\overline A \) “Nhân và Tín đứng cạnh nhau” là biến cố đối của biến cố “Nhân và Tín không đứng cạnh nhau”
Số kết quả thuận lợi cho \(\overline A \) là: \(n(\overline A \)) = 4!.2!
Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{4!.2!}}{{5!}} = \frac{2}{5}\)
Vậy xác suất của biến cố “Nhân và Tín không đứng cạnh nhau” là \(1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\)
b) Gọi biến cố A “Trí đứng ở đầu hàng” là biến cố đối của biến cố “Trí không đứng ở đầu hàng”
Số kết quả thuận lợi cho A là: \(n(A) = 4!.2\)
Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{4!.2}}{{5!}} = \frac{2}{5}\)
Vậy xác suất của biến cố “Nhân và Tín không đứng cạnh nhau” là \(1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\)
Đề bài
Trong hộp có một số quả bóng màu xanh và màu đỏ có kích thước và khối lượng như nhau. An nhận thấy nếu lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp thì xác suất để 2 quả bóng này khác nhau là 0,6. Hỏi xác suất để lấy ra hai quả bóng cùng màu là bao nhiêu?
Lời giải chi tiết
Ta thấy hai biến cố :”Hai quả bóng lây ra cùng màu” và “Hai quả bóng lấy ra khác màu” là hai biến cố đối
Suy ra xác suất của biến cố “Hai quả bóng lây ra cùng màu” là \(1 - 0,6 = 0,4\)
Đề bài
Hộp thứ nhất đựng 1 thẻ xanh, 1 thẻ đỏ và 1 thẻ vàng. Hộp thứ hai đựng 1 thẻ xanh, 1 thẻ đỏ. Các tấm thẻ có kích thước có khối lượng như nhau. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ
a) Sử dụng sơ đồ hình cây, hãy liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra
b) Tính xác suất của biến cố “Trong 2 thẻ lấy ra có ít nhất 2 thẻ màu đỏ”
Lời giải chi tiết
a) Các kết quả có thể xảy ra trong 2 lần lấy tấm thẻ từ 2 hộp được thể hiện ở sơ đồ hình cây như hình dưới đây:
b)
Gọi A là biến cố “Trong 2 thẻ lấy ra không có thẻ màu đỏ nào” là biến cố đối của biến cố “Trong 2 thẻ lấy ra có ít nhất 2 thẻ màu đỏ”
Dựa vào sơ đồ hình cây ta thấy có tất cả 6 kết quả có thể xảy ra, trong đó có 2 kết quả thuận lợi cho I. Do đó: \(P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Vậy xác suất của biến cố “Trong 2 thẻ lấy ra có ít nhất 2 thẻ màu đỏ” là \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
Đề bài
Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
a) “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 10”
b) “Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 3”
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Xác định không gian mẫu
Bước 2: Xác định biến cố đối
Bước 3: Tính xác suất của biến cố đối bằng công thức \(P\left( A \right) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\)
Bước 4: Xác định xác suất của biến cố ban đầu
Lời giải chi tiết
Tổng số kết quả có thể xảy ra của phép thử là \(n(\Omega ) = {6^2}\)
a) Gọi biến cố A “Tổng số chấm xuất hiện lớn hơn hoặc bằng 10” là biến cố đối của biến cố “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 10”
A xảy ra khi số chấm xuất hiện là 5 hoặc 6. Số kết quả thuận lợi cho A là \(n(A) = {2^2}\)
Xác suất của biến cố A là \(P(A) = \frac{{{2^2}}}{{{6^2}}} = \frac{1}{9}\)
Vậy xác suất của biến cố “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 10” là \(1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\)
b) Gọi biến cố A: “Tích số chấm xuất hiện không chia hết cho 3” là biến cố đối của biến cố ‘“Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 3”
A xảy ra khi mặt xuất hiện trên hai con xúc xắc đều xuất hiện số chấm không chia hết cho 3. Số kết quả thuận lợi cho A là: \(n(A) = {4^2}\)
Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{{4^2}}}{{{6^2}}} = \frac{4}{9}\)
Vậy xác suất của biến cố “Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 3” là \(1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\)
Đề bài
Tung ba đồng xu cân đối và đồng chất. Xác định biến cố đối của mỗi biến cố sau và tính xác xuất của nó:
a) “Xuất hiện ba mặt sấp”.
b) “Xuất hiện ít nhất một mặt sấp”.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức xác suất của biến cố đối.
Lời giải chi tiết
a) Biến cố A “Xuất hiện ba mặt sấp”. Biến cố đối của biến cố A là \(\overline A\): "Xuất hiện ít nhất một mặt ngửa".
Tung ba con đồng xu cân đối và đồng chất mỗi đồng xu có hai khả năng là sấp và ngửa nên không gian mẫu là: \(\Omega \) = {(N, N, N); (N, N, S); (N, S, N); (S, N, N); (N, S, S); (S, N, S); (S, S, N); (S, S, S)}.
Suy ra n(\(\Omega \)) = 8.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là (S, S, S) nên n(A) = 1.
Xác suất xảy ra biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{1}{8}\).
Xác suất xảy ra biến cố \(\overline A\) là: \(P(\overline A) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\).
b) Biến cố đối của biến cố B: “Xuất hiện ít nhất một mặt sấp” là biến cố \(\overline B \): “Không xuất hiện mặt sấp nào”.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là (N, N, N) nên n(B) = 1.
Xác suất xảy ra biến cố \(\overline B \) là \(P(\overline B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{1}{8}\).
Xác suất xảy ra biến cố B là: \(P(B) = 1 - P(\overline B) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\).
Đề bài
Hoạt động khám phá 3 trang 84 SGK Toán 10 tập 2 – CTST
Có 1 hạt gạo nếp nằm trong một cái thùng chứa 10 kg gạo tẻ. Lấy ngẫu nhiên một hạt gạo từ thùng. Theo bạn, hạt gạo lấy ra là gạo tẻ hay gạo nếp?
Lời giải chi tiết
Vì 10 kg gạo tẻ có rất nhiều hạt, trong khi lấy 1 hạt từ rất rất nhiều thì khả năng lấy được hạt gạo nếp rất nhỏ, có thể xem như không xảy ra. Nên theo em, hạt gạo được lấy ra là gạo tẻ.
HĐ Khám phá 2
Một hộp có 10 tấm thẻ giống nhau được đánh số lần lượt từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 thẻ. Tính xác suất của biến cố “Tích các số ghi trên ba thẻ đó là số chẵn”
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định không gian mẫu
Bước 2: Xác định số kết quả thuận lợi của biến cố
Bước 3: Tính xác xuất bằng công thức \(P\left( A \right) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\)
Lời giải chi tiết:
Do các tấm thẻ giống nhau, nên lấy 3 tấm từ 10 tấm không quan tâm thứ tự có \(C_{10}^3 = 120\)cách, suy ra \(n\left( \Omega \right) = 120\)
Gọi A là biến cố “Tích các số ghi trên ba thẻ đó là số chẵn”
Để tích các số trên thẻ là số chẵn thì ít nhất có 1 thẻ là số chẵn
Để chọn ra 3 thẻ thuận lợi cho biến cố A ta có 3 khả năng
+) Khả năng 1: 3 thẻ chọn ra có 1 thẻ có số chẵn và 2 thẻ có số lẻ có \(5.C_5^2 = 50\) khả năng
+) Khả năng 2: 3 thẻ chọn ra có 2 thẻ có số chẵn và 1 thẻ có số lẻ có \(C_5^2.5 = 50\) khả năng
+) Khả năng 3: 3 thẻ chọn ra có đều là có số chắn có \(C_5^3 = 10\) khả năng
Suy ra \(n\left( A \right) = 50 + 50 + 10 = 110\)
Vậy xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{110}}{{120}} = \frac{{11}}{{12}}\)
Thực hành 3
Gieo đồng thời 3 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:
a) “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3”
b) “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4”
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định biến cố đối của biến cố đã cho
Bước 2: Xác định xác suất của biến cố đã xác định ở bước 1
Bước 3: Xác định biến cố ban đầu
Lời giải chi tiết:
a) Gọi biến cố A: “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc không chia hết cho 3” là biến cố đối của biến cố ‘Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3”
Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là \(n(\Omega ) = {6^3}\)
A xảy ra khi mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc đều xuất hiện số chấm không chi hết cho 3. Số kết quả thuận lợi cho A là: \(n(A) = {4^3}\)
Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{{4^3}}}{{{6^3}}} = \frac{8}{{27}}\)
Vậy xác suất của biến cố “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3” là \(1 - \frac{8}{{27}} = \frac{{19}}{{27}}\)
b) Gọi biến cố B: “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 4” là biến cố đối của biến cố “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4”
Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là \(n(\Omega ) = {6^3}\)
Ta có tập hợp kết quả thuận lợi cho biến cố B như sau: \(B = \left\{ {(1;1;1),(1;1;2)} \right\}\). Số kết quả thuận lợi cho B là: \(n(A) = 2\)
Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{2}{{{6^3}}} = \frac{1}{{108}}\)
Vậy xác suất của biến cố “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4” là \(1 - \frac{1}{{108}} = \frac{{107}}{{108}}\)
Thực hành 4
Trong hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bi. Tính xác suất để trong 4 viên bi lấy ra:
a) Có ít nhất 1 bi xanh
b) Có ít nhất 2 bi đỏ
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định biến cố đối của biến cố đã cho
Bước 2: Xác định xác suất của biến cố đã xác định ở bước 1
Bước 3: Xác định biến cố ban đầu
Lời giải chi tiết:
Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là \(n(\Omega ) = C_{12}^4 = 495\)
a) Gọi biến cố A: “Trong 4 viên bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh”, suy ra biến cố đối của biến cố A là \(\overline A \): “Trong 4 viên bi lấy ra không có viên bi xanh nào”
\(\overline A \) xảy ra khi 4 viên bi lấy ra chỉ có màu đỏ hoặc vàng. Số kết quả thuận lợi cho \(\overline A \)là: \(n(A) = C_9^4 = 126\)
Xác suất của biến cố \(\overline A \) là: \(P(\overline A ) = \frac{{n(\overline A )}}{{n(\Omega )}} = \frac{{126}}{{495}} = \frac{{14}}{{55}}\)
Vậy xác suất của biến cố A là \(P(A) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{14}}{{55}} = \frac{{41}}{{55}}\)
b) Gọi biến cố A: “Trong 4 viên bi lấy ra có ít nhất 2 bi đỏ ”, suy ra biến cố đối của biến cố A là \(\overline A \): “Trong 4 viên bi lấy ra có nhiều hơn 2 bi đỏ”
\(\overline A \) xảy ra khi 4 viên bi lấy ra có 3 hoặc 4 bi đỏ. Số kết quả thuận lợi cho \(\overline A \)là: \(n(A) = C_4^3.8 + C_4^4 = 33\)
Xác suất của biến cố \(\overline A \) là: \(P(\overline A ) = \frac{{n(\overline A )}}{{n(\Omega )}} = \frac{{33}}{{495}} = \frac{1}{{15}}\)
Vậy xác suất của biến cố A là \(P(A) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{1}{{15}} = \frac{{14}}{{15}}\)
Đề bài
Thực hành 2 trang 83 SGK Toán 10 tập 2 – CTST
Ba bạn Lan, Mai và Đào đặt thẻ học sinh của mình vào một hộp kín, sau đó mỗi bạn lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp. Tính xác suất của biến cố “Không bạn nào lấy đúng thẻ của mình”
Lời giải chi tiết
Gọi A là biến cố “Không bạn nào lấy đúng thẻ của mình”
Các kết quả có thể xảy ra khi các bạn lần lượt lấy thẻ được thể hiện ở sơ đồ hình cây như hình dưới
Có tất cả 6 kết quả có thể xảy ra, trong đó có 2 kết quả thuận lợi cho A, do đó:
\(P\left( A \right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
HĐ Khám phá 1
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Hãy so sánh khả năng xảy ra của hai biến cố:
A: “Mặt xuất hiện có số chấm là số chẵn”
B: “Mặt xuất hiện có số chấm là số lẻ”
Lời giải chi tiết:
Vì con xúc xắc cân đối và đồng chất nên các mặt có khả năng xuất hiện như nhau
Tập hợp mô tả biến cố A là: \(A = \left\{ {(2;4;6)} \right\} \), suy ra có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A
Tập hợp mô tả biến cố B là: \(B = \left\{ {(1;3;5)} \right\} \), suy ra có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố B
Vậy khả năng xảy ra của hai biến cố A và B là như nhau
Thực hành 1
Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:
a) “Hai mặt xuất hiện có cùng số chấm”
b) “Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện bằng 9”
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định không gian mẫu
Bước 2: Xác định số kết quả thuận lợi của biến cố
Bước 3: Tính xác xuất bằng công thức \(P\left( A \right) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\)
Lời giải chi tiết:
Kết quả của mỗi lần thử là một cặp (i; j) với i và j lần lượt là số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc, ta có không gian mẫu là:
\(\Omega = \begin{array}{l}\{(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6),(2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6),(3;1),(3;2),(3;3),(3;4),(3;5),(3;6),\\(4;1),(4;2),(4;3),(4;4),(4;5),(4;6),(5;1),(5;2),(5;3),(5;4),(5;5),(5;6),(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6)\}\end{array} \)
Không gian mẫu gồm có 36 kết quả, tức là \(n\left( \Omega \right) = 36\)
a) Ta có tập hợp miêu tả biến cố A
\(A = \left\{ {(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6)} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 6\)
Do đó, xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\)
b) Ta có tập hợp miêu tả biến cố B
\(B = \left\{ {(6;3),(5;4)} \right\} \Rightarrow n\left( B \right) = 2\)
Do đó, xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{2}{{36}}= \frac{1}{{18}}\)
Vận dụng
Hãy tính xác suất của hai biến cố được nêu ra ở hoạt động khởi động của bài học
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định không gian mẫu
Bước 2: Xác định số kết quả thuận lợi của biến cố
Bước 3: Tính xác xuất bằng công thức \(P\left( A \right) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\)
Lời giải chi tiết:
Do các viên bi có cùng kích thước và trọng lượng nên số kết quả cho việc lấy 2 viên bi từ hộp có 10 viên bi có \(C_{10}^2\) cách
Gọi A là biến cố “Lấy được hai viên bi cùng màu”
Việc lấy được hai viên bi cùng màu có hai khả năng
+) Khả năng thứ nhất: hai viên bi cùng màu xanh có \(C_5^2\) cách
+) Khả năng thứ hai: hai viên bi cùng màu đỏ có \(C_5^2\) cách
Suy ra có \(2C_5^2 = 20\) kết quả thuận lợi cho biến cố A
Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{20}}{{C_{10}^2}} = \frac{4}{9}\)
Gọi B là biến cố “Lấy được hai viên bi khác màu”
Việc lấy được hai viên bi khác màu có hai công đoạn
+) Công đoạn thứ nhất: Lấy 1 viên bi màu xanh có \(5\) cách
+) Công đoạn thứ hai: Lấy 1 viên bi màu đỏ có 5 cách
Suy ra có \(5.5 = 25\) kết quả thuận lợi cho biến cố B
Vậy xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{25}}{{C_{10}^2}} = \frac{5}{9}\)
A. Lý thuyết
1. Xác suất của biến cố
Giả sử một phép thử có không gian mẫu Ω gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra là một biến cố.
Xác suất của biến cố A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức:
\(\frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\)
trong đó n(A), n(Ω) lần lượt kí hiệu số phần tử của tập hợp A và Ω.Chú ý:
- Định nghĩa trên được gọi là định nghĩa cổ điển của xác suất.
- Với mọi biến cố A, \(0 \le P(A) \le 1\).
- \(P(\emptyset ) = 0\); \(P(\Omega ) = 1\).
2. Tính xác suất bằng sơ đồ hình cây
Trong chương VIII, chúng ta đã được làm quen với phương pháp sử dụng sơ đồ hình cây để liệt kê các kết quả của một thí nghiệm. Ta cũng có thể sử dụng sơ đồ hình cây để tính xác suất.
3. Biến cố đối
Cho A là một biến cố. Khi đó, biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là \(\overline A \), được gọi là biến cố đối của A.
+ \(\overline A = \Omega \backslash A\).
+ \(P(\overline A ) + P(A) = 1\).4. Nguyên lí xác suất bé
Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử, biến cố đó sẽ không xảy ra.
Tuy nhiên, một xác suất như thế nào được xem là bé phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể.
B. Bài tập
Bài 1: Một hộp có 5 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, 4, 5; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 chiếc thẻ từ trong hộp.
a) Gọi Ω là không gian mẫu trong trò chơi trên. Tính số phần tử của tập hợp Ω.
b) Tính xác suất của biến cố E: “Tổng các số trên hai thẻ là số lẻ”.
Giải:
a) Mỗi phần tử của không gian mẫu Ω là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử trong tập hợp {1;2;3;4;5}. Vì thế \(n(\Omega ) = C_5^2 = \frac{{5!}}{{2!.3!}} = \frac{{5.4}}{2} = 10\).
b) Biến cố E gồm các cách chọn ra hai chiếc thẻ ghi số là: 1 và 2; 1 và 4; 2 và 3; 2 và 5; 3 và 4; 4 và 5. Vì thế n(E) = 6. Vậy xác suất của biến cố E là:
\(P(E) = \frac{{n(E)}}{{n(\Omega )}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\).
Bài 2: Nhân dịp khai trương một cửa hàng kinh doanh đồ điện tử, khách hàng đầu tiên sau khi mua hàng sẽ được nhận một phiếu tặng quà. Món quà là một chiếc tai nghe của một trong năm hãng và tai nghe mỗi hãng có hai màu trắng hoặc đen.
a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng của một món quà mà khách hàng đầu tiên có thể nhận được từ phiếu tặng quà.
b) Tính xác suất của biến cố H: “Khách hàng đầu tiên nhận được chiếc tai nghe màu trắng từ phiếu tặng quà”.
Giải:
a) Sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng của một món quà mà khách hàng đầu tiên có thể nhận được từ phiếu tặng quà:
b) Ta thấy không gian mẫu Ω là các loại tai nghe đếm theo hãng và theo màu của tai nghe. Dựa vào sơ đồ hình cây ở trên, ta thấy:
+ n(Ω) = 10.
+ Khách hàng đầu tiên có thể nhận được 1 trong 5 loại tai nghe màu trắng ứng với hãng, tức là n(H) = 5.
Vậy xác suất xảy ra biến cố H là \(P(H) = \frac{{n(H)}}{{n(\Omega )}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\).
Bài 3: Một hộp có 10 quả bóng trắng và 10 quả bóng đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 9 quả bóng trong hộp. Tính xác suất để trong 9 quả bóng được lấy ra có ít nhất một quả bóng màu đỏ.
Giải:
Mỗi cách lấy ra đồng thời 9 quả bóng là một tổ hợp chập 9 của 20 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 9 của 20 phần tử và \(n(\Omega ) = C_{20}^9\).
Xét biến cố K: “Trong 9 quả bóng được lấy ra có ít nhất một quả bóng màu đỏ”.
Khi đó biến cố đối của biến cố K là biến cố \(\overline K \): “Trong 9 quả bóng được lấy ra không có quả bóng màu đỏ nào”, tức là cả 9 quả bóng được lấy ra có màu trắng.
Mỗi cách lấy ra đồng thời 9 quả bóng màu trắng là một tổ hợp chập 9 của 10 phần tử.
Do đó \(n(\overline K ) = C_{10}^9 = \frac{{10!}}{{9!.1!}} = 10\). Suy ra \(P(\overline K ) = \frac{{n(\overline K )}}{{n(\Omega )}} = \frac{{10}}{{C_{20}^9}}\).
Vậy \(P(K) = 1 - P(\overline K ) = 1 - \frac{{10}}{{C_{20}^9}}\).
Bài 4: Trong hộp có 5 viên bi xanh và 7 viên bi trắng có kích thước và khối lượng như nhau. Ta lấy hai viên bi bằng hai cách như sau:
Cách thứ nhất: Lấy ngẫu nhiên một viên bi, xem màu rồi trả lại hộp. Sau đó lại lấy một viên bi một cách ngẫu nhiên.
Cách thứ hai: Lấy cùng một lúc hai viên bi từ hộp.
Gọi A là biến cố “Cả hai lần đều lấy được bi màu trắng”. Với cách lấy bi nào thì biến cố A có khả năng xảy ra cao hơn?
Giải:
Theo cách lấy bi thứ nhất, áp dụng quy tắc nhân ta có số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 12.12 = 144.
Số khả năng thuận lợi cho A là n(A) = 7.7 = 49.
Do đó xác suất của biến cố A theo cách lấy bi thứ nhất là \(\frac{{49}}{{144}}\).
Theo cách lấy bi thứ hai, số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = \(C_{12}^2\) = 66.
Số khả năng thuận lợi cho A là n(A) = \(C_7^2\) = 21.
Do đó xác suất của biến cố A theo cách lấy bi thứ hai là \(\frac{{21}}{{66}} = \frac{7}{{22}}\).
Vì \(\frac{{49}}{{144}} > \frac{7}{{22}}\) nên với cách lấy bi thứ nhất thì biến cố A có khả năng xảy ra cao hơn.
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 10
Môn Vật lí Lớp 10
Môn Tiếng Anh Lớp 10
Môn Hóa học Lớp 10
Môn Sinh học Lớp 10
Môn Lịch sử Lớp 10
Môn Địa lí Lớp 10
Môn Toán học Lớp 10
Môn GD kinh tế và pháp luật Lớp 10
Lời giải và bài tập Lớp 10 đang được quan tâm
