SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo] Bài 1. Không gian mẫu và biến cố

Hướng dẫn học bài: Bài 1. Không gian mẫu và biến cố - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

Đề bài

Xếp 4 viên bi xanh và 5 viên bi trắng có các kích thước khác nhau thành một hàng ngang một cách ngẫu nhiên. Hãy tính số các kết quả thuận lợi cho biến cố:

a) “Không có hai viên bi trắng nào xếp liền nhau”

b) “Bốn viên bi xanh được xếp liền nhau”

Lời giải chi tiết

a) Việc xếp 9 viên bi sao cho không có hai viên bi trắng nào xếp liến nhau được thực hiện qua 2 công đoạn

Công đoạn 1: Xếp 4 viên bi xanh trước, vì các viên bi có kích thước khác nhau nên quan tâm đến thứ tự, suy ra công đoạn 1 có \(4! = 24\) cách

Công đoạn 2: Xếp 5 viên bi trắng vào 5 vị trí xung quanh bi xanh, có quan tâm đến thứ tự nên công đoạn 2 có \(5! = 120\) cách

Vậy có \(120.24 = 2880\) kết quả thuận lợi cho biến cố “Không có hai viên bi trắng nào xếp liền nhau”

b) Việc xếp 9 viên bi sao cho bốn viên bi xanh được xếp liền nhau được thực hiện qua 2 công đoạn

Công đoạn 1: Xếp 4 viên bi xanh liền nhau, vì các viên bi có kích thước khác nhau nên quan tâm đến thứ tự, suy ra công đoạn 1 có \(4! = 24\) cách

Công đoạn 2: Xếp 5 viên bi trắng có kích thước khác nhau vào bên trái hay bên phải của bi xanh, có quan tâm đến thứ tự nên công đoạn 2 có \(5!{.2^5} = 3840\) cách

Vậy có \(3840.24 = 92160\) kết quả thuận lợi cho biến cố “Bốn viên bi xanh được xếp liền nhau”

Đề bài

Gieo hai con xúc xắc. Hãy tính số kết quả thuận lợi cho biến cố:

a) “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc hơn kém nhau 3 chấm”

b) “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5”

c) “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số lẻ”

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách 1: Sử dụng các quy tắc đếm, công thức tổ hợp để xác định

Cách 2: Viết tập hợp mô tả biến cố và xác định số phần tử của tập hợp

Lời giải chi tiết

a) Gọi A là biến cố “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc hơn kém nhau 3 chấm”. Tập hợp mô tả biến cố A là:

\(A = \left\{ {(1;4),(4;1),(2;5),(5;2),(3;6),(6;3)} \right\}\) (Với kết quả của phép thử là cặp số (i; j) trong đó i và j lần lượt là số chấm trên hai con xúc xắc)

Vậy có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố A

b) Gọi B là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5”. Tập hợp mô tả biến cố B là:

\(A = \left\{ {(1;5),(5;1),(2;5),(5;2),(3;5),(5;3),(4;5),(5;4),(5;5),(6;5),(5;6)} \right\}\)(Với kết quả của phép thử là cặp số (i; j) trong đó i và j lần lượt là số chấm trên hai con xúc xắc)

Vậy có 11 kết quả thuận lợi cho biến cố B

c) Gọi C là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số lẻ”. Tập hợp mô tả biến cố C là:

\(C = \left\{ {(1;2),(1;4),(1;6),(2;1),(2;3),(2;5),(3;2),(3;4),(3;6),(4;1),(4;3),(4;5),(5;2),(5;4),(5;6),(6;1),(6;3),(6;5)} \right\}\) (Với kết quả của phép thử là cặp số (i; j) trong đó i và j lần lượt là số chấm trên hai con xúc xắc)

Vậy có 18 kết quả thuận lợi cho biến cố C

Đề bài

Trong hộp có 3 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 3. Hãy xác định không gian mẫu của các phép thử:

a) Lấy một thẻ từ hộp, xem số, trả thẻ vào hộp rồi lại lấy tiếp 1 thẻ từ hộp

b) Lấy một thẻ từ hộp, xem số, bỏ ra ngoài rồi lấy tiếp 1 thẻ khác từ hộp

c) Lấy đồng thời hai thẻ từ hộp

Lời giải chi tiết

a) Lần đầu tiên lấy thẻ, sau đó để lại vào hộp nên lần thứ 2 cũng sẽ có 3 trường hợp với 3 số xảy ra, nên ta có không gian mẫu của phép thử là:

\(\Omega = \left\{ {\left( {i;j} \right)\left| {i,j = 1,2,3} \right.} \right\}\) với i, j lần lượt là số được đánh trên thẻ được lấy lần đầu và lần hai

b) Lần đầu lấy một thẻ từ hộp, xem số, bỏ ra ngoài rồi lấy tiếp 1 thẻ khác từ hộp, nên lần hai chỉ có 2 trường hợp với hai số còn lại, nên ta có không gian mẫu của phép thử là:

\(\Omega = \left\{ {(1;2),(1;3),(2;1),(2;3),(3;1),(3;2)} \right\}\)

(Với kết quả của phép thử là cặp số (i; j) trong đó i và j lần lượt là số được đánh trên thẻ được lấy ra lần thứ nhất và thứ hai)

c) Ta lấy đồng thời hai thẻ nên các số được đánh trên thẻ là khác nhau

\(\Omega = \left\{ {(1;2),(1;3),(2;1),(2;3),(3;1),(3;2)} \right\}\)

(Với kết quả của phép thử là cặp số (i; j) trong đó i và j lần lượt là số được đánh trên thẻ được lấy ra lần thứ nhất và thứ hai)

Đề bài

Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 100

a) Hãy mô tả không gian mẫu

b) Gọi A là biến cố “Số được chọn là số chính phương”. Hãy viết tập hợp mô tả biến cố A

b) Gọi B là biến cố “Số được chọn chia hết cho 4” Hãy tính số các kết quả thuận lợi cho B

Lời giải chi tiết

a) Các số nguyên dương nhỏ hơn 100 là: 1; 2; 3; 4; 5; 6; ...; 99.

Khi đó không gian mẫu Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; ...; 99}.

b) Các số chính phương nguyên dương nhỏ hơn 100 là: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81.

Khi đó A = {1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81}.

c) Các số nguyên dương chia hết cho 4 là: 4; 8; 12; 16; 20; ...; 96.

Khi đó B = {4; 8; 12; 16; 20; ...; 96}.

Số các kết quả thuận lợi cho B là (96 – 4) : 4 + 1 = 24.

Vậy có 24 kết quả thuận lợi cho B.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ Khám phá 2 Thực hành 2 HĐ Khám phá 3 Thực hành 3

HĐ Khám phá 2

Xét trò chơi ở hoạt động khám phá 1

a) Nếu kết quả của phép thử là (2;3) thì ai là người chiến thắng?

b) Hãy liệt kê tất cả các kết quả của phép thử đem lại chiến thắng cho Cường.

Lời giải chi tiết:

a) Kết quả phép thử là (2;3) tương ứng với lần gieo đầu tiên số chấm là 2 và lần giao thứ hai số chấm là 3

Suy ra số chấm hai lần khác nhau

Vậy Bình thắng

b) Cường chiến thắng thì kết quả số chấm trên hai lần gieo là giống nhau nên tập hợp các kết quả của phép thử đem lại chiến thắng cho Cường là

\(A = \left\{ {(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6)} \right\}\)

Thực hành 2

Trong một phép thử gieo hai con xúc xắc, gọi B là biến cố “Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm” và C là biến cố “Số chấm xuất hiện ở con xúc xắc thứ nhất gấp hai lần số chấm xuất hiện ở con xúc xắc thứ hai”

a) Hãy xác định biến cố B và C bằng cách liệt kê các phần tử

b) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho B và bao nhiêu kết quả thuận lợi cho C?

Lời giải chi tiết:

a) Kết quả của phép thử là một cặp số (a;b) trong đó a, b lần lượt là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai, suy ra:

\(B = \left\{ {(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6)} \right\}\)

\(C = \left\{ {(2;1),(4;2),(6;3)} \right\}\)

b) Từ tập hợp mô tả biến cố ở câu a) ta có:

Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố B

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố C

HĐ Khám phá 3

Trong phép thử gieo hai con xúc xắc, có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố sau?

D: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 13”

E: :Tổng số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc bằng 13”

Lời giải chi tiết:

Kết quả của phép thử là một cặp số (a;b) trong đó a, b lần lượt là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai, suy ra:

\(D = \left\{ {(i;j)\left| {i,j = 1,2,...,6} \right.} \right\}\), suy ra có 36 kết quả thuận lợi cho biến cố D

\(E = \emptyset \), suy ra khồn có kết quả nào thuận lợi cho biến cố E

Thực hành 3

Trong ví dụ 4, hãy xác định các kết quả thuận lợi cho biến cố:

a) “Trong ba bạn được chọn có đúng một bạn nữ”

b) “Trong ba bạn được chọn không có bạn nam nào”

Lời giải chi tiết:

a) Công việc cần qua hai công đoạn

Công đoạn 1 cần chọn một bạn nữ từ 4 bạn có 4 cách

Công đoạn 2 cần chọn 2 bạn nam từ 5 bạn và không tính đến thứ tự có \(C_5^2\) cách

Vậy có \(4.C_5^2 = 40\)kết quả thuận lợi cho biến cố “Trong ba bạn được chọn có đúng một bạn nữ”

b) Ba bạn được chọn không có bạn nam nào tức là ba bạn đều là nữ, ta chọn ra 3 bạn nữ từ 4 bạn và không tính đến thứ tự có \(C_4^3 = 4\) cách

Vậy có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố “Trong ba bạn được chọn không có bạn nam nào”

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ Khám phá 1 Thực hành 1 Vận dụng

HĐ Khám phá 1

Ba bạn An, Bình, Cường đang chơi cùng với nhau. An gieo một con xúc xắc 6 mặt cân đối (viết tắt là xúc xắc) hai lần. Nếu kết quả hai lần gieo ra hai mặt có số chấm khác nhau thì Bình thắng. Ngược lại, nếu kết quả hai lần gieo ra hai mặt khác nhau thì Cường thắng

a) Trước khi An gieo con xúc xắc, có thể biết bạn nào sẽ chiến thắng không?

b) Liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra đối với số chấm xuất hiện trong hai lần gieo.

Lời giải chi tiết:

a) Trước khi An gieo con xúc xắc, ta không thể biết bạn nào sẽ chiến thắng. Vì kết quả xúc xắc là ngẫu nhiên, không thể đoán trước

b) Các kết quả có thể xảy ra trong hai lần gieo là (lần lượt số chấm theo thứ tự gieo xúc xắc): 11; 12; 13; 14; 15; 16; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 31; 32; 33; 34; 35; 36; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 51; 52; 53; 54; 55; 56; 61; 62; 63; 64; 65; 66

Thực hành 1

Tìm không gian mẫu của phép thử thực hiện ở hoạt động khám phá 1

Phương pháp giải:

Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra

Lời giải chi tiết:

Từ câu b) của hoạt động khám phá 1, ta có không gian mẫu là

\( \begin{array}{l}\Omega =\{\left( {1;1} \right);\left( {1;2} \right);\left( {1;3} \right);\left( {1;4} \right);\left( {1;5} \right);\left( {1;6} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {2;3} \right);\left( {2;4} \right);\left( {2;5} \right);\left( {2;6} \right);\left( {3;1} \right);\left( {3;2} \right);\\\left( {3;3} \right);\left( {3;4} \right);\left( {3;5} \right);\left( {3;6} \right);\left( {4;1} \right);\left( {4;2} \right);\left( {4;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {4;5} \right);\left( {4;6} \right);\\\left( {5;1} \right);\left( {5;2} \right);\left( {5;3} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;6} \right)\}\end{array} \)

Vận dụng

Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp ở ví dụ 2, xem số, sau đó trả lại hộp, trộn đều rồi lại lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp đó. Hãy xác định không gian mẫu của phép thử hai lần lấy bóng này.

Lời giải chi tiết:

Do lần đầu tiên lấy bóng sau đó trả lại hộp nên lần hai có thể lấy 1 trong 4 quả bóng và hai lần lấy lần lượt nên ta cần phải tính đến thứ tự lấy bóng. Nếu lần đầu lấy được bóng 1 và lần hai lấy được bóng 3 thì ta sẽ kí hiệu kết quả của phép thử là cặp (1; 3). Khi đó không gian mẫu của phép thử là:

\(\Omega = \left\{ \begin{array}{l}(1;1);(1;2);(1;3);(1;4);(2;1);(2;2);(2;3);(2;4);\\(3;1);(3;2);(3;3);(3;4);(4;1);(4;2);(4;3);(4;4)\end{array} \right\}\)

A. Lý thuyết

1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một hoạt động mà ta không thể biết trước được kết quả của nó. Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử ngẫu nhiên được gọi là không gian mẫu, ký hiệu là Ω.

Chú ý: Trong chương này ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn phần tử.

2. Biến cố

Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố, kí hiệu là A, B, C,…

Một kết quả thuộc A được gọi là kết quả làm cho A xảy ra, hoặc kết quả thuận lợi cho A.

* Biến cố không thể. Biến cố chắc chắn

Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra, kí hiệu là Ω.

Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra, kí hiệu là ∅.

B. Bài tập

Bài 1: Một hộp có 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng đỏ, 1 quả bóng vàng; các quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ trong hộp, ghi lại màu của quả bóng được lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên tiếp 2 quả bóng trong hộp”. Hãy cho biết không gian mẫu của phép thử đó.

Giải:

Không gian mẫu của phép thử trên là tập hợp Ω = {XX; XD; XV; ĐD; ĐV; DX; DV; VX; VD}, ở đó, chẳng hạn XD là kết quả “Lần thứ nhất lấy ra quả bóng xanh, lần thứ hai lấy ra quả bóng đỏ”.

Bài 2: Một đồng xu có hai mặt, trên một mặt có ghi giá trị của đồng xu, thường gọi là mặt sấp, mặt kia là mặt ngửa. Hãy xác định không gian mẫu cho mỗi phép thử ngẫu nhiên sau:

a) Tung đồng xu một lần.

b) Tung đồng xu hai lần.

Giải:

a) Khi tung đồng xu một lần, ta có không gian mẫu là Ω = {S; N}, trong đó ký hiệu S để chỉ đồng xu xuất hiện mặt sấp.

b) Khi tung đồng xu hai lần, ta có không gian mẫu là Ω = {SS; SN; NS; NN}.

Ở đây ta quy ước SN có nghĩa là lần đầu tung được mặt sấp, lần sau tung được mặt ngửa. Các ký hiệu SS, NS, NN được hiểu một cách tương tự.

Bài 3: Xét phép thử gieo hai con xúc xắc.

a) Hãy xác định không gian mẫu của phép thử.

b) Viết tập hợp mô tả biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 4”. Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố đó?

Giải:

a) Kết quả của phép thử là một cặp số (i, j), trong đó i và j lần lượt là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai.

Không gian mẫu của phép thử là:

Ω = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (2; 6); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (4; 6); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 5); (5; 6); (6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6)}.

Ta cũng có thể viết không gian mẫu dưới dạng: Ω = {(i, j) | i, j = 1, 2, ..., 6}.

b) Gọi A là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện bằng 4”. Tập hợp mô tả biến cố A là:

A = {(1; 3); (2; 2); (3; 1)}.

Như vậy, có ba kết quả thuận lợi cho biến cố A.

Bài 4: Một nhóm có 5 bạn nam và 4 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên cùng một lúc ra 3 bạn đi làm công tác tình nguyện.

a) Hãy xác định số phần tử của không gian mẫu.

b) Hãy xác định số các kết quả thuận lợi cho biến cố “Trong 3 bạn được chọn có đúng 2 bạn nữ”.

Giải:

a) Do ta chọn ra 3 bạn khác nhau từ 9 bạn trong nhóm và không tính thứ tự nên số phần tử của không gian mẫu là \(C_9^3 = 84\).

b) Ta có \(C_4^2\) cách chọn ra 2 bạn nữ từ 4 bạn nữ. Ứng với mỗi cách chọn 2 bạn nữ có \(C_5^1\) cách chọn ra 1 bạn nam từ 5 bạn nam.

Theo quy tắc nhân ta có tất cả là \(C_4^2C_5^1\) cách chọn ra 2 bạn nữ và 1 bạn nam từ nhóm bạn.

Do đó số kết quả thuận lợi cho biến có “Trong 3 bạn chọn ra đúng 2 bạn nữ” là: \(C_4^2C_5^1 = 30\).