SGK Toán Lớp 10 Kết nối tri thức

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 10 Kết nối tri thức] Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai

Hướng dẫn học bài: Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 10 Kết nối tri thức Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

Đề bài

Xét đường tròn đường kính AB=4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM=x (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phằng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tính diện tích hình tròn đường kính AB, AM, MB theo x

Bước 2: Tính diện tích phần hình phằng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ theo x

Bước 3: Lập bất phương trình từ dữ kiện bài toán

Lời giải chi tiết

Ta có: AM<AB nên \(0 < x < 4\)

Diện tích hình tròn đường kính AB là \({S_0} = \pi .{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2} = 4\pi \)

Diện tích hình tròn đường kính AM là \({S_1} = \pi .{\left( {\frac{{AM}}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi .{x^2}}}{4}\)

Diện tích hình tròn đường kính MB là \({S_2} = \pi .{\left( {\frac{{MB}}{2}} \right)^2} = \pi .\frac{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{4}\)

Diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ là \(S(x) = {S_0} - {S_1} - {S_2} = 4\pi - \frac{{{x^2}}}{4}\pi - \frac{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{4}\pi = \frac{{ - {x^2} + 4x}}{2}\pi \)

Vì diện tich S(x) không vượt quá 1 nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ nên:

\(S(x) \le \frac{1}{2}\left( {{S_1} + {S_2}} \right)\)

Khi đó : \(\frac{{ - {x^2} + 4x}}{2}\pi \le \frac{1}{2}.\frac{{{x^2} - 4x + 8}}{2}\pi \)

\( \Leftrightarrow - {x^2} + 4x \le \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{2}\)

\( \Leftrightarrow - 2{x^2} + 8x \le {x^2} - 4x + 8\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + 8 \ge 0\)

Xét tam thức \(3{x^2} - 12x + 8\) có \(\Delta ' = 12 > 0\) nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3};{x_2} = \frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}\)

Mặt khác a=3>0, do đó ta có bảng xét dấu:

Do đó \(f(x) \ge 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;\frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\)

Mà 0<x<4 nên \(x \in \left( { - \infty ;\frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\)

Đề bài

Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu \({v_0} = 20m/s\). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100 m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tìm hàm tính độ cao so với mặt đất của vật \(h(t)\),

Tìm khoảng thời gian t để \(320 - h(t) \le 100\), bài toán đưa về xét dấu tam thức \(f(t) = a{t^2} + bt + c\)

Bước 1: Tính \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

Bước 2:

- Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f(t)\) luôn cùng dấu với a với mọi \(t \in \mathbb{R}\)

- Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f(t)\)có nghiệm kép là \({t_0}\) . Vậy \(f(t)\)cùng dấu với a với \(t \ne {t_0}\)

- Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f(t)\)có 2 nghiệm là \({t_1};{t_2}\)\(({t_1} < {t_2})\). Ta lập bảng xét dấu.

Kết luận khoảng chứa t thỏa mãn

Lời giải chi tiết

Quãng đường vật rơi được sau t(s) là: \(h(t) = 20t + \frac{1}{2}.9,8.{t^2} = 4,9.{t^2} + 20t\)

Để vật cách mặt đất không quá 100m thì \(320 - h(t) \le 100 \Leftrightarrow h(t) \ge 220 \Leftrightarrow 4,9{t^2} + 20t - 220 \ge 0 \)

Tam thức \(f(t) = 4,9{t^2} + 20t - 220\) có \(\Delta ' = 1178 > 0\) nên f(t) có 2 nghiệm phân biệt \({t_1} = \frac {- 10 - \sqrt 1178}{4,9} ;{t_2} = \frac {- 10 + \sqrt 1178}{4,9} \) (t>0)

Mặt khác a=1>0 nên ta có bảng xét dấu:

Do t>0 nên \(t \ge \frac {- 10 + \sqrt 1178}{4,9}\approx 5 \)

Vậy sau ít nhất khoảng 5 \(s\) thì vật đó cách mặt đất không quá 100m

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\):

\({x^2} + (m + 1)x + 2m + 3\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c > 0\)với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì:

a>0 và \(\Delta < 0\)

Lời giải chi tiết

Để tam thức bậc hai \({x^2} + (m + 1)x + 2m + 3 > 0\)với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Ta có: a = 1 >0 nên \(\Delta < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(m + 1)^2} - 4.(2m + 3) < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - 8m - 12 < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 6m - 11 < 0\end{array}\)

Tam thức \(f(m) = {m^2} - 6m - 11\) có \(\Delta ' = 20 > 0\) nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt \({m_1} = 3+\sqrt{20}; {m_2} = 3-\sqrt{20}\)

Khi đó

\( 3-2\sqrt{5} < m < 3+2\sqrt{5}\)

Vậy \( 3-2\sqrt{5} < m < 3+2\sqrt{5}\)

Đề bài

Giải các bất phương trình bậc hai:

a) \({x^2} - 1 \ge 0\)

b) \({x^2} - 2x - 1 < 0\)

c) \( - 3{x^2} + 12x + 1 \le 0\)

d) \(5{x^2} + x + 1 \ge 0\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét dấu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\)

Bước 1: Tính \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

Bước 2:

- Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với a với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

- Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f(x)\)có nghiệm kép là \({x_0}\) . Vậy \(f(x)\)cùng dấu với a với \(x \ne {x_0}\)

- Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f(x)\)có 2 nghiệm là \({x_1};{x_2}\)\(({x_1} < {x_2})\). Ta lập bảng xét dấu.

Lời giải chi tiết

a) Tam thức \(f(x) = {x^2} - 1\) có \(\Delta = 4 > 0\)nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = - 1;{x_2} = 1\)

Mặt khác a=1>0, do đó ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

b) Tam thức \(g(x) = {x^2} - 2x - 1\) có \(\Delta = 8 > 0\) nên g(x) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = 1 - \sqrt 2 ;{x_2} = 1 + \sqrt 2 \)

Mặt khác a=1>0, do đó ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)\)

c) Tam thức \(h(x) = - 3{x^2} + 12x + 1\) có\(\Delta ' = 39 > 0\)nên h(x) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{6 - \sqrt {39} }}{3};{x_2} = \frac{{6 + \sqrt {39} }}{3}\)

Mặt khác a=-3<0, do đó ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; \frac{{6 - \sqrt {39} }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{6 + \sqrt {39} }}{3}; + \infty } \right)\)

d) Tam thức \(k(x) = 5{x^2} + x + 1\) có \(\Delta = - 19 < 0\), hệ số a=5>0 nên k(x) luôn dương ( cùng dấu với a) với mọi x, tức là \(5{x^2} + x + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm

Đề bài

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) \(3{x^2} - 4x + 1\)

b) \({x^2} + 2x + 1\)

c) \( - {x^2} + 3x - 2\)

d) \( - {x^2} + x - 1\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét dấu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\)

Bước 1: Tính \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

Bước 2:

- Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với a với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

- Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f(x)\)có nghiệm kép là \({x_0}\) . Vậy \(f(x)\)cùng dấu với a với \(x \ne {x_0}\)

- Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f(x)\)có 2 nghiệm là \({x_1};{x_2}\)\(({x_1} < {x_2})\). Ta lập bảng xét dấu.

Lời giải chi tiết

a) \(f(x) = 3{x^2} - 4x + 1\)có \(\Delta = 4\)>0, \(a = 3 > 0\)và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{1}{3}\). Do đó ta có bảng xét dấu \(f(x)\):

Suy ra \(f(x) > 0\)với mọi \(x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) và \(f(x) < 0\)với mọi \(x \in \left( {\frac{1}{3};1} \right)\)

b) \(g(x) = {x^2} + 2x + 1\) có \(\Delta = 0\) và a=1>0 nên \(g(x)\)có nghiệm kép \(x = - 1\) và \(g(x) > 0\)với \(x \ne - 1\)

c) \(h(x) = - {x^2} + 3x - 2\) có \(\Delta = 1 > 0\), \(a = - 1\)

Suy ra \(h(x) > 0\) với mọi \(x \in (1;2)\)và \(h(x) < 0\)với mọi \(x \in ( - \infty ;1) \cup (2; + \infty )\)

d) \(k(x) = - {x^2} + x - 1\) có \(\Delta = - 3\), a=-1

Suy ra \( k(x) < 0 \) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ5 Luyện tập 3 Vận dụng

HĐ5

Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 \({m^2}\), hãy viết bất đẳng thức thể hiện sự so sánh biểu thức tính diện tích \(S(x) = - 2{x^2} + 20x\) với 48

Lời giải chi tiết:

Để diện tích của mảnh vườn không nhỏ hơn 48 \({m^2}\)thì

\(S(x) \ge 48 \Rightarrow - 2{x^2} + 20x \ge 48 \Leftrightarrow - 2{x^2} + 20x - 48 \ge 0\)

Luyện tập 3

Giải các bất phương trình sau:

a) \( - 5{x^2} + x - 1 \le 0\)

b) \({x^2} - 8x + 16 \le 0\)

c) \({x^2} - x + 6 > 0\)

Phương pháp giải:

Để giải bất phương trình bậc hai, ta cần xét dấu tam thức \(f(x) = a{x^2} + bx + x(a \ne 0)\)

từ đó suy ra tập nghiệm.

Xét dấu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\)

Bước 1: Tính \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

Bước 2:

- Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với a với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

- Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f(x)\)có nghiệm kép là \({x_0}\) . Vậy \(f(x)\)cùng dấu với a với \(x \ne {x_0}\)

- Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f(x)\)có 2 nghiệm là \({x_1};{x_2}\)\(({x_1} < {x_2})\). Ta lập bảng xét dấu.

Lời giải chi tiết:

a) Tam thức \(f(x) = - 5{x^2} + x - 1\) có \(\Delta = - 19 < 0\), hệ số \(a = - 5 < 0\) nên f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi x, tức là \(\)\( - 5{x^2} + x - 1 < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm

b) Tam thức \(g(x) = {x^2} - 8x + 16\) có \(\Delta = 0\), hệ số a=1>0 nên g(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi \(x \ne 4\), tức là \({x^2} - 8x + 16 > 0\) với mọi \(x \ne 4\)

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất là x=4

c) Tam thức \(h(x) = {x^2} - x + 6\) có \(\Delta = - 2 < 0\), hệ số a=1>0 nên h(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là \({x^2} - x + 6 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm

Vận dụng

Độ cao so với mặt đất của một quá bóng được ném lên theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm số bậc hai \(h(t) = - 4,9{t^2} + 20t + 1\), ở độ cao \(h(t)\)tính bằng mét và thời gian t tình bằng giây. Trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất.

Phương pháp giải:

Tìm khoảng thời gian t để \(h(t) > 5\), bài toán đưa về xét dấu tam thức \(f(t) = h(t) - 5\)

Các bước xét dấu tam thức bậc hai \(f(t) = a{t^2} + bt + c\)

Bước 1: Tính \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

Bước 2:

- Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f(t)\) luôn cùng dấu với a với mọi \(t \in \mathbb{R}\)

- Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f(t)\)có nghiệm kép là \({t_0}\) . Vậy \(f(t)\)cùng dấu với a với \(t \ne {t_0}\)

- Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f(t)\)có 2 nghiệm là \({t_1};{t_2}\)\(({t_1} < {t_2})\). Ta lập bảng xét dấu.

Kết luận khoảng chứa t thỏa mãn \(f(t) > 0\)

Lời giải chi tiết:

Để quả bóng ở độ cao trên 5m so với mặt đất thì:

\(\begin{array}{l}h(t) > 5\\ \Rightarrow - 4,9{t^2} + 20t + 1 > 5\\ \Rightarrow - 4,9{t^2} + 20t - 4 > 0\end{array}\)

Đặt \(f(t) = - 4,9{t^2} + 20t - 4\)có \(\Delta ' = b{'^2} - ac = {10^2} - ( - 4,9).( - 4) = 80,4 > 0\)nên \(f(t)\)có 2 nghiệm: \(\begin{array}{l}{t_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - 10 + \sqrt {80,4} }}{{ - 4,9}} = \frac{{10 - \sqrt {80,4} }}{{4,9}}\\{t_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - 10 - \sqrt {80,4} }}{{ - 4,9}} = \frac{{10 + \sqrt {80,4} }}{{4,9}}\end{array}\)

Mặt khác \(a = - 4,9 < 0\), do đó ta có bảng xét dấu sau

Do đó để \(h(t) > 5\)thì \(t \in \left( {\frac{{10 - \sqrt {80,4} }}{{4,9}};\frac{{10 + \sqrt {80,4} }}{{4,9}}} \right)\)

Vậy để quả bóng sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất thì \(t \in \left( {\frac{{10 - \sqrt {80,4} }}{{4,9}};\frac{{10 + \sqrt {80,4} }}{{4,9}}} \right)\)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ1 Luyện tập 1 HĐ2 HĐ3 HĐ4 Luyện tập 2

HĐ1

Hãy chỉ ra một đặc điểm chung của các biểu thức dưới đây:

\(A = 0,5{x^2}\)

\(B = 1 - {x^2}\)

\(C = {x^2} + x + 1\)

\(D = (1 - x)(2x + 1)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(A = 0,5{x^2}\)

\(B = 1 - {x^2}\)

\(C = {x^2} + x + 1\)

\(D = (1 - x)(2x + 1) = 2x + 1 - 2{x^2} - x = - 2{x^2} + x + 1\)

=> Các biểu thức đều có dạng \(a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\), a,b,c là các số thực.

Luyện tập 1

Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai.

\(A = 3x + 2\sqrt x + 1\)

\(B = - 5{x^4} - 3{x^2} + 4\)

\(C = - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\)

\(D = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 2.\frac{1}{x} + 3\)

Phương pháp giải:

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng \(a{x^2} + bx + c\), trong đó a,b,c là những số cho trước \(\left( {a \ne 0} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Biểu thức \(C = - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\) là tam thức bậc hai

Biểu thức A không là tam thức bậc hai vì chứa \(\sqrt x \)

Biểu thức B không là tam thức bậc hai vì chứa \({x^4}\)

Biểu thức D không là tam thức bậc hai vì chứa \({\left( {\frac{1}{x}} \right)^2}\)

HĐ2

Cho hàm số bậc hai \(y = f(x) = {x^2} - 4x + 3\)

a) Xác định hệ số a. Tính \(f(0);f(1);f(2);f(3);f(4)\) và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a

b) Cho đồ thị hàm số y=f(x) (H.6.17). Xét từng khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right);\left( {1;3} \right);\left( {3; + \infty } \right)\), đồ thị nằm phía trên hay phía dưới trục Ox?

c) Nhận xét về dấu của f(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Lời giải chi tiết:

a) Hệ số a là: a=1

\(f(0) = {0^2} - 4.0 + 3 = 3\)

\(f(1) = {1^2} - 4.1 + 3 = 0\)

\(f(2) = {2^2} - 4.2 + 3 = - 1\)

\(f(3) = {3^2} - 4.3 + 3 = 0\)

\(f(4) = {4^2} - 4.4 + 3 = 3\)

=> f(0); f(4) cùng dấu với hệ số a; f(2) khác dấu với hệ số a

b) Nhìn vào đồ thị ta thấy

- Trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) đồ thị nằm phía trên trục hoành

- Trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\), đồ thị nằm phía dưới trục hoành

- Trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\), đồ thị nằm phía trên trục hoành

c) - Trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) đồ thị nằm phía trên trục hoành => f(x)>0, cùng dầu với hệ số a

- Trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\), đồ thị nằm phía dưới trục hoành => f(x) <0, khác dấu với hệ số a

- Trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\), đồ thị nằm phía trên trục hoành => f(x)>0, cùng dấu với hệ số a

HĐ3

Cho đồ thị hàm số \(y = g(x) = - 2{x^3} + x + 3\) như Hình 6.18

a) Xét trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right),\left( { - 1;\frac{3}{2}} \right),\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\), đồ thị nằm phía trên trục Ox hay nằm phía dưới trục Ox

b) Nhận xét về dấu của g(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó

Lời giải chi tiết:

Ta có: hệ số a=-2<0

a) Nhìn vào đồ thị ta thấy

- Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) đồ thị nằm phía dưới trục hoành

- Trên khoảng \(\left( { - 1;\frac{3}{2}} \right)\), đồ thị nằm phía trên trục hoành

- Trên khoảng \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\), đồ thị nằm phía dưới trục hoành

c) - Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) đồ thị nằm phía dưới trục hoành => f(x)<0, cùng dầu với hệ số a

- Trên khoảng \(\left( { - 1;\frac{3}{2}} \right)\), đồ thị nằm phía trên trục hoành => f(x) >0, khác dấu với hệ số a

- Trên khoảng \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\), đồ thị nằm phía dưới trục hoành => f(x)<0, cùng dấu với hệ số a

HĐ4

Nêu nội dung thay vào các ô có dấu “?” trong bảng sau cho thích hợp

Trường hợp a>0

Trường hợp a<0

Lời giải chi tiết:

Luyện tập 2

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) \( - 3{x^2} + x - \sqrt 2 \)

b) \({x^2} + 8x + 16\)

c) \( - 2{x^2} + 7x - 3\)

Phương pháp giải:

Xét dấu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\)

Bước 1: Tính \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

Bước 2:

- Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với a với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

- Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f(x)\)có nghiệm kép là \({x_0}\) . Vậy \(f(x)\)cùng dấu với a với \(x \ne {x_0}\)

- Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f(x)\)có 2 nghiệm là \({x_1};{x_2}\)\(({x_1} < {x_2})\). Ta lập bảng xét dấu.

Lời giải chi tiết:

a) \(f(x) = - 3{x^2} + x - \sqrt 2 \)có \(\Delta = 1 - 12\sqrt 2 < 0\)và a=-3<0 nên \(f(x) < 0\)với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

b) \(g(x) = {x^2} + 8x + 16\) có \(\Delta = 0\)và a=1>0 nên g(x) có nghiệm kép \(x = - 4\) và g(x) >0 với mọi \(x \ne - 4\)

c) \(h(x) = - 2{x^2} + 7x - 3\) có \(\Delta = 25\)>0 và a=-2<0 và có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{1}{2};{x_2} = 3\)

Do đó ta có bảng xét dấu h(x)

Suy ra h(x) <0 với mọi \(x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\) và h(x)>0 với mọi \(x \in \left( {\frac{1}{2};3} \right)\)

A. Lý thuyết

1. Dấu của tam thức bậc hai

a) Khái niệm tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng \(a{x^2} + bx + c\), trong đó a, b, c là các số thực cho trước và \(a \ne 0\), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai.

Chú ý: Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c\).

\(\Delta = {b^2} - 4ac\) và \(\Delta ' = b{'^2} - ac\) với b = 2b’ tương ứng được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c\).

b) Dấu của tam thức bậc hai

Mối quan hệ giữa dấu của tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) với dấu của hệ số a trong từng trường hợp của \(\Delta \) được phát biểu trong định lí về dấu của tam thức bậc hai sau đây:

Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\).

- Nếu \(\Delta < 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a \(\forall x \in \mathbb{R}\).

- Nếu \(\Delta = 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \ne - \frac{b}{{2a}}\) và \(f\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right) = 0\).

- Nếu \(\Delta > 0\) thì tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) \(({x_1} < {x_2})\). Khi đó:

+ f(x) cùng dấu với hệ số a \(\forall x \in ( - \infty ;{x_1}) \cup ({x_2}; + \infty )\).

+ f(x) trái dấu với hệ số a \(\forall x \in ({x_1};{x_2})\).

Chú ý: Trong định lí về dấu của tam thức bậc hai, có thể thay \(\Delta \) bởi \(\Delta '\).

2. Bất phương trình bậc hai

Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có dạng \(a{x^2} + bx + c > 0\) (hoặc \(a{x^2} + bx + c \ge 0\), \(a{x^2} + bx + c < 0\), \(a{x^2} + bx + c \le 0\)), trong đó a, b, c là những số thực đã cho và \(a \ne 0\).

Số thực \({x_0}\) gọi là nghiệm của bất phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c > 0\), nếu \(a{x_0}^2 + b{x_0} + c > 0\). Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c > 0\) gọi là tập nghiệm của bất phương trình này.

Giải một bất phương trình bậc hai là tìm tập nghiệm của nó.

Nhận xét: Để giải bất phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c > 0\) (hoặc \(a{x^2} + bx + c \ge 0\), \(a{x^2} + bx + c < 0\), \(a{x^2} + bx + c \le 0\)) ta cần xét dấu tam thức \(a{x^2} + bx + c\), từ đó suy ra tập nghiệm.

B. Bài tập

Bài 1: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

A. \(3x + 2\sqrt x + 1\)

B. \( - 5{x^4} + 3{x^2} + 4\)

C. \( - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\)

D. \({\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 2\frac{1}{x} + 3\)

Giải:

\( - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\) là tam thức bậc hai với \(a = - \frac{2}{3},b = 7,c = - 4\).

Bài 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau đây:

a) \({x^2} + x + 1\).

b) \( - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\).

c) \(2{x^2} + 6x - 8\).

Giải:

a) \(f(x) = {x^2} + x + 1\) có \(\Delta = - 3 < 0\) và \(a = 1 > 0\) nên f(x) > 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

\(f(x) = - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\) có \(\Delta = 0\) và \(a = - \frac{3}{2} < 0\) nên f(x) có nghiệm kép x = 3 và f(x) < 0 với mọi \(x \ne 3\).

c) Dễ thấy \(f(x) = 2{x^2} + 6x - 8\) có \(\Delta ' = 25 > 0\), a = 2 > 0 và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 4\), \({x_2} = 1\). Do đó ta có bảng xét dấu:

Suy ra f(x) > 0 với mọi \(x \in ( - \infty ; - 4) \cup (1; + \infty )\) và f(x) < 0 với mọi \(x \in ( - 4;1)\).

Bài 3: Giải các bất phương trình sau:

a) \(3{x^2} + x + 5 \le 0\).

b) \( - 3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 1 \ge 0\).

c) \( - {x^2} + 2x + 1 > 0\).

Giải:

a) Tam thức \(f(x) = 3{x^2} + x + 5\) có \(\Delta = - 59 < 0\), hệ số a = 3 > 0 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là \(3{x^2} + x + 5 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Suy ra bất phương trình vô nghiệm.

b) Tam thức \(f(x) = - 3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 1\) có \(\Delta ' = 0\), hệ số a = -3 < 0 nên f(x) có nghiệm kép \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) và f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi \(x \ne \frac{{\sqrt 3 }}{3}\), tức là \( - 3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 1 < 0\) với mọi \(x \ne \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

c) Tam thức \(f(x) = - {x^2} + 2x + 1\) có \(\Delta ' = 2 > 0\) nên f(x) có hai nghiệm \({x_1} = 1 - \sqrt 2 \) và \({x_2} = 1 + \sqrt 2 \).

Mặt khác, a = -1 < 0, do đó ta có bảng xét dấu sau: