[SGK Toán Lớp 10 Cánh Diều] Bài 5. Xác suất của biến cố

A. Lý thuyết

1. Một số khái niệm về xác suất

a) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Một trong những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất là phép thử. Chẳng hạn, tung đồng xu hay gieo xúc xắc, ... là những ví dụ về phép thử.

Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau:

b) Biến cố

* Biến cố

Chú ý: Vì sự kiện chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của một biến cố nên ta cũng gọi biến cố là biến cố. Chẳng hạn: Sự kiện “Kết quả của hai lần tung là giống nhau” trong phép thử “Tung đồng xu hai lần liên tiếp” là một biến cố.

* Biến cố không. Biến cố chắc chắn

* Biến cố đối

Chú ý: Nếu biến cố A được mô tả dưới dạng định nghĩa toán học Q thì biến cố \(\overline A \) được mô tả bằng mệnh đề phủ định của mệnh đề Q (tức là mệnh đề \(\overline Q \)).

c) Xác suất của biến cố

Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau:

Xét phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả có thể xảy ra và khả năng xảy ra của từng kết quả là giống nhau. Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử đó. Khi đó, với mỗi biến cố A, ta có định nghĩa cổ điển của xác suất như sau:

2. Tính chất của xác suất

Xét phép thử T với không gian mẫu Ω.

+ \(P(\emptyset ) = 0\); \(P(\Omega ) = 1\).

+ \(0 \le P(A) \le 1\) với mỗi biến cố A.

3. Nguyên lí xác suất bé

Nếu một biến có ngẫu nhiên có xác suất rất bé thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến có đó sẽ không xảy ra.

Tuy nhiên, một xác suất như thế nào được xem là bé phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể.

B. Bài tập

Bài 1: Một hộp có 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng đỏ, 1 quả bóng vàng; các quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ trong hộp, ghi lại màu của quả bóng được lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên tiếp 2 quả bóng trong hộp”. Hãy cho biết không gian mẫu của phép thử đó.

Giải:

Không gian mẫu của phép thử trên là tập hợp Ω = {XX; XD; XV; ĐD; ĐV; DX; DV; VX; VD}, ở đó, chẳng hạn XD là kết quả “Lần thứ nhất lấy ra quả bóng xanh, lần thứ hai lấy ra quả bóng đỏ”.

Bài 2: Một hộp có 5 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, 4, 5; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 chiếc thẻ từ trong hộp.

a) Gọi Ω là không gian mẫu trong trò chơi trên. Tính số phần tử của tập hợp Ω.

b) Tính xác suất của biến cố E: “Tổng các số trên hai thẻ là số lẻ”.

Giải:

a) Mỗi phần tử của không gian mẫu Ω là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử trong tập hợp {1;2;3;4;5}. Vì thế \(n(\Omega ) = C_5^2 = \frac{{5!}}{{2!.3!}} = \frac{{5.4}}{2} = 10\).

b) Biến cố E gồm các cách chọn ra hai chiếc thẻ ghi số là: 1 và 2; 1 và 4; 2 và 3; 2 và 5; 3 và 4; 4 và 5. Vì thế n(E) = 6. Vậy xác suất của biến cố E là:

\(P(E) = \frac{{n(E)}}{{n(\Omega )}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\).

Bài 3: Nhân dịp khai trương một cửa hàng kinh doanh đồ điện tử, khách hàng đầu tiên sau khi mua hàng sẽ được nhận một phiếu tặng quà. Món quà là một chiếc tai nghe của một trong năm hãng và tai nghe mỗi hãng có hai màu trắng hoặc đen.

a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng của một món quà mà khách hàng đầu tiên có thể nhận được từ phiếu tặng quà.

b) Tính xác suất của biến cố H: “Khách hàng đầu tiên nhận được chiếc tai nghe màu trắng từ phiếu tặng quà”.

Giải:

a) Sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng của một món quà mà khách hàng đầu tiên có thể nhận được từ phiếu tặng quà:

b) Ta thấy không gian mẫu Ω là các loại tai nghe đếm theo hãng và theo màu của tai nghe. Dựa vào sơ đồ hình cây ở trên, ta thấy:

+ n(Ω) = 10.

+ Khách hàng đầu tiên có thể nhận được 1 trong 5 loại tai nghe màu trắng ứng với hãng, tức là n(H) = 5.

Vậy xác suất xảy ra biến cố H là \(P(H) = \frac{{n(H)}}{{n(\Omega )}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\).

Bài 4: Một hộp có 10 quả bóng trắng và 10 quả bóng đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 9 quả bóng trong hộp. Tính xác suất để trong 9 quả bóng được lấy ra có ít nhất một quả bóng màu đỏ.

Giải:

Mỗi cách lấy ra đồng thời 9 quả bóng là một tổ hợp chập 9 của 20 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 9 của 20 phần tử và \(n(\Omega ) = C_{20}^9\).

Xét biến cố K: “Trong 9 quả bóng được lấy ra có ít nhất một quả bóng màu đỏ”.

Khi đó biến cố đối của biến cố K là biến cố \(\overline K \): “Trong 9 quả bóng được lấy ra không có quả bóng màu đỏ nào”, tức là cả 9 quả bóng được lấy ra có màu trắng.

Mỗi cách lấy ra đồng thời 9 quả bóng màu trắng là một tổ hợp chập 9 của 10 phần tử.

Do đó \(n(\overline K ) = C_{10}^9 = \frac{{10!}}{{9!.1!}} = 10\). Suy ra \(P(\overline K ) = \frac{{n(\overline K )}}{{n(\Omega )}} = \frac{{10}}{{C_{20}^9}}\).

Vậy \(P(K) = 1 - P(\overline K ) = 1 - \frac{{10}}{{C_{20}^9}}\).

Đề bài

Có 10 bông hoa màu trắng, 10 bông hoa màu vàng và 10 bông hoa màu đỏ. Người ta chọn ra 4 bông hoa từ các bông hoa trên. Tính xác suất của biến cố “Bốn bông hoa chọn ra có cả ba màu”.

Lời giải chi tiết

+) Mỗi lần lấy ngẫu nhiên ra 4 bông hoa từ 30 bông hoa ta có một tổ hợp chập 4 của 30. Do đó số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega  \right) = C_{30}^4\) (phần tử)

+) Gọi A là biến cố “ bốn bông hoa chọn ra có cả ba màu”

+) Để chọn ra bốn bông hoa có đủ 3 màu ta chia ra làm ba trường hợp:

TH1: 2 bông trắng, 1 bông vàng, 1 bông đỏ: \(C_{10}^2.10.10\) (cách chọn)

TH2: 1 bông trắng, 2 bông vàng, 1 bông đỏ: \(10.C_{10}^2.10\) (cách chọn)

TH3: 1 bông trắng, 1 bông vàng, 2 bông đỏ: \(10.10.C_{10}^2\) (cách chọn)

+) Áp dụng quy tắc cộng, ta có \(n\left( A \right) = 13500\) ( cách chọn)

+) Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{100}}{{203}}\)

Đề bài

Hai bạn nữ Hoa, Thảo và hai bạn nam Dũng, Huy được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế đặt theo hàng dọc. Tính xác suất của mỗi biến cố:

a) “Bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên”;

b) “Bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên và bạn Huy ngồi ghế cuối cùng”.

Lời giải chi tiết

+) Xếp 4 bạn vào 4 ghế là sự hoán vị của 4 phần tử. Do đó, không gian mẫu là: \(n\left( \Omega  \right) = 4!\) ( phần tử)

a) +) Gọi A là biến cố “Bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên”

         Ghế đầu tiên là ghế của Thảo nên có 1 cách chọn, 3 ghế còn lại xếp tùy ý 3 bạn nên ta có sự hoán vị của 3 phần tử. Theo quy tắc nhân, ta có: \(n\left( A \right) = 1.3!\) ( phần tử)

+) Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{1}{4}\)

b) +) Gọi B là biến cố “Bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên và bạn Huy ngồi ghế cuối cùng”.

         Ghế đầu tiên của bạn Thảo và ghế cuối cùng của bạn Huy nên có 1 cách chọn cho cả 2 ghế, 2 ghế còn lại xếp tùy ý 2 bạn nên ta có sự hoán vị của 2 phần tử. Theo quy tắc nhân, ta có: \(n\left( B \right) = 1.1.2!\) ( phần tử)

+) Vậy xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{1}{{12}}\)

Đề bài

Một hộp có 4 tấm bìa cùng loại, mỗi tấm bìa được ghi một trong các số 1, 2, 3, 4 hai tấm bìa khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên đồng thời 3 tấm bìa từ trong hộp.

a) Tính số phần tử của không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau:

A: “Tổng các số trên ba tấm bìa bằng 9”;

B: “Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp”.

c) Tính P(A), P(B).

Lời giải chi tiết

a) Mỗi phần tử của không gian mẫu là một tổ hợp chập 3 của 4 phần tử. Do đó, số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega  \right) = C_4^3\) ( phần tử)

b) +) Sự kiện “Tổng các số trên ba tấm bìa bằng 9” tương ứng với biến cố \(A = \left\{ {\left( {4;3;2} \right)} \right\}\)

+) Sự kiện “Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp” tương ứng với biến cố \(B = \left\{ {\left( {1;2;3} \right),\left( {2;3;4} \right)} \right\}\)

c) +) Ta có: \(n\left( A \right) = 1\),\(n\left( B \right) = 2\)

+) Vậy xác suất của biến cố A và B là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{1}{4};P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Đề bài

Một hộp có 5 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, 4, 5, hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 chiếc thẻ từ trong hộp.

a) Gọi \(\Omega \) là không gian mẫu trong trò chơi trên. Tính số phần tử của tập hợp \(\Omega \).

b) Tính xác suất của biến cố “Tích các số trên hai thẻ là số lẻ”.

Lời giải chi tiết

a) Mỗi phần tử của không gian mẫu là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. Do đó, số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega  \right) = C_5^2\) ( phần tử)

b)

+) Gọi A là biến cố “Tích các số trên hai thẻ là số lẻ”

+) Để tích các số trên thẻ là số lẻ thì cả hai thẻ bốc được đểu phải là số lẻ. Do đó, số phần tử các kết quả thuận lợi cho biến cố A là tổ hợp chập 2 của 3 phần tử: \(n\left( A \right) = C_3^2\) ( phần tử)

+) Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{C_3^2}}{{C_5^2}} = \frac{3}{{10}}\)

Đề bài

Luyện tập – Vận dụng 3 trang 51 SGK Toán 10 – Cánh Diều

Có 15 bông hoa màu trắng và 15 bông hoa màu vàng. Người ta chọn ra đồng thời 10 bông hoa. Tính xác suất của biến cố “Trong 10 bông hoa được chọn ra có ít nhất một bông màu trắng”.

Lời giải chi tiết

Mỗi lần lấy ngẫu nhiên ra 10 bông hoa từ 30 bông hoa ta có một tổ hợp chập 10 của 30. Do đó số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega  \right) = C_{30}^{10}\) (phần tử)

Gọi A là biến cố “Trong 10 bông hoa được chọn ra có ít nhất một bông màu trắng”

Vậy \(\overline A \)  là biến cố “Trong 10 bông hoa được chọn ra đều là hoa màu vàng”

Mỗi cách lấy ra đồng thời 10 bông hoa từ 15 bông hoa màu vàng là một tổ hợp chập 10 của 15 phần tử. Vậy số phần tử của biến cố \(\overline A \) là : \(n\left( {\overline A } \right) = C_{15}^{10}\) ( phần tử)

Xác suất của biến cố \(\overline A \) là: \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{1}{{10005}}\)

Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \frac{{10004}}{{10005}}\)