[SGK Toán Lớp 10 Cánh Diều] Bài 2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Đề bài

Một vật đồng thời bị ba lực tác động: lực tác động thứ nhất \(\overrightarrow {{F_1}} \) có độ lớn là 1 500 N, lực tác động thứ hai\(\overrightarrow {{F_2}} \) , có độ lớn là 600 N, lực tác động thứ ba\(\overrightarrow {{F_3}} \) , có độ lớn là 800 N. Các lực này được biểu diễn bằng những vectơ như Hình 23, với \(\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,{\rm{ }}\overrightarrow {{F_2}} } \right)\) = 30°, \(\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,{\rm{ }}\overrightarrow {{F_3}} } \right)\)= 45° và \(\left( {\overrightarrow {{F_2}} ,{\rm{ }}\overrightarrow {{F_3}} } \right)\)= 75°. Tính độ lớn lực tổng hợp tác động lên vật (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Ta có: \(\overrightarrow {{F_1}}  = \left( {1500;0} \right)\)

Do \(\;\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,{\rm{ }}\overrightarrow {{F_2}} } \right) = 30^\circ \) nên tọa độ của \(\overrightarrow {{F_2}} \)là: \(\overrightarrow {{F_2}}  = \left( {600.\cos {{30}^o};600.\sin {{30}^o}} \right) = \left( {300\sqrt 3 ;300} \right)\)

Do \(\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,{\rm{ }}\overrightarrow {{F_3}} } \right) = {45^o}\) nên tọa độ của \(\overrightarrow {{F_3}} \)là: \(\overrightarrow {{F_3}}  = \left( {800.\cos {{45}^o}; - 800.\sin {{45}^o}} \right) = \left( {400\sqrt 2 ; - 400\sqrt 2 } \right)\)

Do đó, lực \(\overrightarrow F \) tổng hợp các lực tác động lên vật có tọa độ là: \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \left( {1500 + 300\sqrt 3  + 400\sqrt 2 ;300 - 400\sqrt 2 } \right)\)

Độ lớn lực tổng hợp \(\overrightarrow F \) tác động lên vật là: \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left( {1500 + 300\sqrt 3  + 400\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {300 - 400\sqrt 2 } \right)}^2}}  \approx 2599\left( N \right)\)

Đề bài

Chứng minh khẳng định sau: Hai vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {{x_1},{y_1}} \right)\), \(\overrightarrow v  = \left( {{x_2},{y_2}} \right)\) (\(\overrightarrow v  \ne 0\) ) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho \({x_1}{\rm{ =  }}k{x_2}\) và \({y_1} = {\rm{ }}k{y_2}\) .

Lời giải chi tiết

 Để hai vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {{x_1},{y_1}} \right)\), \(\overrightarrow v  = \left( {{x_2},{y_2}} \right)\) (\(\overrightarrow v  \ne 0\) ) cùng phương thì phải tồn tại một số \(k\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\) sao cho \(\overrightarrow u  = k.\overrightarrow v  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = k{x_2}\\{y_1} = k{y_2}\end{array} \right.\) ( ĐPCM)

Đề bài

Cho ba điểm A(1; 1), B(4;3) và C(0;- 2).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và CD= 2AB.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1; - 3} \right)\)

Do \(\overrightarrow {AB}  \ne k.\overrightarrow {AC} \) nên A, B, C không thẳng hàng

b) Giả sử tọa độ điểm D là:\(D\left( {{x_D},{y_D}} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {CD}  = \left( {{x_D} - 0;{y_D} - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {{x_D};{y_D} + 2} \right)\)

Để tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và CD= 2AB thì \(\overrightarrow {CD}  = 2\overrightarrow {AB} \)

Vậy nên \(\overrightarrow {CD}  = 2\overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 2.3\\{y_D} + 2 = 2.2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 6\\{y_D} = 2\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ D là: \(D\left( {6;2} \right)\)

Đề bài

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;4), B(-1;1), C(-8; 2).

a) Tính số đo góc ABC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

b) Tính chu vi của tam giác ABC.

c) Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng BC sao cho diện tích của tam giác ABC bằng hai lần diện tích của tam giác ABM.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 7;1} \right),\overrightarrow {BA}  = \left( {3;3} \right)\)

\(\cos \widehat {ABC} = \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \frac{{\left( { - 7} \right).3 + 1.3}}{{\sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2}} }} =  - \frac{3}{5} \Rightarrow \widehat {ABC} \approx {126^o}\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 7;1} \right),\overrightarrow {BA}  = \left( {3;3} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 10; - 2} \right)\)

Suy ra: \(\begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2 \\AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {104} \\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt {50} \end{array}\)

Vậy chu vi tam giác ABC là: \({P_{ABC}} = 2\sqrt {26}  + 8\sqrt 2 \)

c) Để diện tích của tam giác ABC bằng hai lần diện tích của tam giác ABM thì M phải là trung điểm BC.

Vậy tọa độ điểm M là: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{ - 9}}{2}\\\frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{3}{2}\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( {\frac{{ - 9}}{2};\frac{3}{2}} \right)\)

Đề bài

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh BC, CA, AB tương ứng là M(2 ; 0), N4 ; 2), P(1 ; 3).

a) Tìm toạ độ các điểm A, B, C.

b) Trọng tâm hai tam giác ABC và MNP có trùng nhau không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

a) Do M, N, P là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = {x_M}\\\frac{{{x_B} + {x_A}}}{2} = {x_P}\\\frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = {x_N}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = 4\\{x_B} + {x_A} = 2\\{x_A} + {x_C} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 3\\{x_B} =  - 1\\{x_C} = 5\end{array} \right.\)  và  \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = {y_M}\\\frac{{{y_B} + {y_A}}}{2} = {y_P}\\\frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = {y_N}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_B} + {y_C} = 0\\{y_B} + {y_A} = 6\\{y_A} + {y_C} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_A} = 5\\{y_B} =  1\\{y_C} = - 1\end{array} \right.\)

Vậy \(A\left( {3;5} \right),B\left( { - 1; 1} \right),C\left( {5; - 1} \right)\)

b) Trọng tâm tam giác ABC có tọa độ là: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{3 + \left( { - 1} \right) + 5}}{3} = \frac{7}{3}\\\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{5 + \left( { - 1} \right) + 1}}{3} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Trọng tâm tam giác MNP có tọa độ là: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = \frac{{2 + 4 + 1}}{3} = \frac{7}{3}\\\frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = \frac{{0 + 2 + 3}}{3} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Vậy trọng tâm của 2 tam giác ABC và MNP là trùng nhau vì có cùng tọa độ.

Đề bài

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(-2;3), B(4; 5), C(2;- 3).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Giải tam giác ABC (làm tròn các kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {6;2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {4; - 6} \right)\)

Do \(\overrightarrow {AB}  \ne k.\overrightarrow {AC} \) nên A, B, C không thẳng hàng

b) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{ - 2 + 4 + 2}}{3} = \frac{4}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{3 + 5 + \left( { - 3} \right)}}{3} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(G\left( {\frac{4}{3};\frac{5}{3}} \right)\)

c) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {6;2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {4; - 6} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2; - 8} \right)\)

Suy ra: \(\begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{6^2} + {2^2}}  = \sqrt {40} \\AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}}  = \sqrt {52} \\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}}  = \sqrt {68} \end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{6.4 + 2.\left( { - 6} \right)}}{{\sqrt {{6^2} + {2^2}} .\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} \approx 0,263 \Rightarrow \widehat {BAC} \approx {74^o}\\\cos \widehat {ABC} = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\left( { - 6} \right).\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 8} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} }} \approx 0,537 \Rightarrow \widehat {ABC} \approx {57^o}\end{array}\) Áp dụng tính chất tổng ba góc trong một tam giác ta có: \(\widehat {ACB} \approx {180^o} - {74^o} - {57^o} \approx {49^o}\)

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow a  = \left( { - 1;2} \right),\overrightarrow b  = \left( {3;1} \right),\overrightarrow c  = \left( {2; - 3} \right)\).

a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - 3\overrightarrow c \)

b) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow x \) sao cho \(\overrightarrow x  + 2\overrightarrow b  = \overrightarrow a  + \overrightarrow c \)

Lời giải chi tiết

a) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {2.\left( { - 1} \right) + 3 - 3.2;2.2 + 1 - 3.\left( { - 3} \right)} \right) = \left( { - 5;14} \right)\)

b) Do \(\overrightarrow x  + 2\overrightarrow b  = \overrightarrow a  + \overrightarrow c  \Leftrightarrow \overrightarrow x  = \overrightarrow a  + \overrightarrow c  - 2\overrightarrow b  = \left( { - 1 + 2 - 2.3;2 + \left( { - 3} \right) - 2.1} \right) = \left( { - 5; - 3} \right)\)

Vậy \(\overrightarrow x  = \left( { - 5; - 3} \right)\)

Đề bài

Hoạt động 4 trang 63 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh Diều

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho \(\overrightarrow i \)và \(\overrightarrow j \)  là vectơ đơn vị trên trục hoành Ox và ở trên trục tung Oy

a) Tính \({\overrightarrow i ^2};{\overrightarrow j ^2};\overrightarrow i .\overrightarrow j .\)

b) Cho \(\overrightarrow u  = \left( {{x_1},{y_1}} \right)\), \(\overrightarrow v  = \left( {{x_2},{y_2}} \right)\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có:  \({\overrightarrow i ^2} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} = 1;{\overrightarrow j ^2} = {\left| {\overrightarrow j } \right|^2};\overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0\)(vì \(\overrightarrow i  \bot \overrightarrow j \) )

b) Ta có: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = \left( {{x_1}\overrightarrow i  + {y_1}\overrightarrow j } \right).\left( {{x_2}\overrightarrow i  + {y_2}\overrightarrow j } \right) = {x_1}{x_2}.{\overrightarrow i ^2} + {x_1}{y_2}.\left( {\overrightarrow i .\overrightarrow j } \right) + {y_1}{x_2}.\left( {\overrightarrow j .\overrightarrow i } \right) + {y_1}{y_2}.{\overrightarrow j ^2} = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\)

A. Lý thuyết

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto

Nếu \(\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1})\) và \(\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2})\) thì:

+ \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = ({x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2})\).

+ \(\overrightarrow u  - \overrightarrow v  = ({x_1} - {x_2};{y_1} - {y_2})\).

Nhận xét: Hai vecto \(\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1})\) và \(\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2})\) \((\overrightarrow v  \ne \overrightarrow 0 )\) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho \({x_1} = k{x_2}\) và \({y_1} = k{y_2}\).

2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác

a) Tọa độ trung điểm đoạn thẳng

b) Tọa độ trọng tâm tam giác

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Nhận xét:

a) Nếu \(\overrightarrow a  = (x;y)\) thì \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {\overrightarrow a .\overrightarrow a }  = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).

b) Nếu \(A({x_A};{y_A})\) và \(B({x_B};{y_B})\) thì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2}} \).

c) Với hai vecto \(\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1})\) và \(\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2})\) đều khác \(\overrightarrow 0 \), ta có:

+ \(\overrightarrow u \) vuông góc \(\overrightarrow v \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0\).

+ \(\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow v ) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} .\sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} }}\).

B. Bài tập

Bài 1: Cho \(\overrightarrow u  = (2; - 1)\), \(\overrightarrow v  = (1;5)\). Tìm tọa độ của \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v \) và \(\overrightarrow u  - \overrightarrow v \).

Giải:

\(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = (2 + 1; - 1 + 5) = (3;4)\); \(\overrightarrow u  - \overrightarrow v  = (2 - 1; - 1 - 5) = (1; - 6)\).

Bài 2: Cho ba điểm A(-1;-3), B(2;3) và C(3;5). Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Giải:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (3;6)\), \(\overrightarrow {BC}  = (1;2)\). Suy ra \(\overrightarrow {AB}  = 3\overrightarrow {BC} \).

Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Bài 3: Cho tma giác ABC có A(-2;1), B(2;5), C(5;2). Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của tam giác ABC.

Giải:

Do \(M({x_M};{y_M})\) là trung điểm của đoạn thẳng AB nên:

 \({x_M} = \frac{{ - 2 + 2}}{2} = 0\); \({y_M} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\).

Vậy M(0;3).

Do \(G({x_G};{y_G})\) là trọng tâm tam giác ABC nên:

\({x_G} = \frac{{ - 2 + 2 + 5}}{3} = \frac{5}{3}\); \({y_G} = \frac{{1 + 5 + 2}}{3} = \frac{8}{3}\).

Vậy \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{8}{3}} \right)\).

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;2), B(1;-1), C(8;0).

a) Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \) và \(\cos \widehat {ABC}\).

b) Chứng minh \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \).

c) Giải tam giác ABC.

Giải:

a) Ta có \(\overrightarrow {BA}  = (1;3)\), \(\overrightarrow {BC}  = (7;1)\). Do đó \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 1.7 + 3.1 = 10\).

Mặt khác: \(\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} \), \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{7^2} + {1^2}}  = \sqrt {50} \).

\(\cos \widehat {ABC} = \cos (\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .\sqrt {50} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

b) Do \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 3)\) và \(\overrightarrow {AC}  = (6; - 2)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = ( - 1).6 + ( - 3).( - 2) = 0\).

Vậy \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \).

c) Do \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \) nên \(\widehat {BAC} = {90^o}\), tức tam giác ABC vuông tại A.

Mà \(\cos \widehat {ABC} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\) nên \(\widehat {ABC} \approx {63^o}\). Vì thế \(\widehat {ACB} \approx {90^o} - {63^o} = {27^o}\).

Mặt khác: \(AB = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {10} \), \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {50}  = 5\sqrt 2 \),

\(CA = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2}}  = 2\sqrt {10} \).